Cifra dell'unità
Sia \(\displaystyle \alpha: \ \mathbb{N} \to \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \) la funzione che associa ad ogni numero naturale la sua cifra dell'unità.
(ad esempio $alpha(12)=2$, $alpha(329)=9$, $alpha(1007)=7$)
Provare o confutare la seguente affermazione: $AA n in NN$ si ha $alpha(n)= alpha(n^2013)$.
(ad esempio $alpha(12)=2$, $alpha(329)=9$, $alpha(1007)=7$)
Provare o confutare la seguente affermazione: $AA n in NN$ si ha $alpha(n)= alpha(n^2013)$.
Risposte
Provo a dare una soluzione, anche se penso non sia dimostrata in maniera esaustiva.
Vale il seguente fatto $\alpha(m_1\cdotm_2)=\alpha(m_1)\cdot\alpha(m_2) \forall m_1,m_3 \in \mathbb{N}$.
Dato ogni $n \in \mathbb{N}$ può essere scritto come prodotto di primi basta verificare che $\alpha(n)=\alpha(n^2013)$ per i soli numeri primi. Inoltre, dato che la funzione $alpha$ associa a ciascun numero la sua cifra delle unità basta verificare che la proprietà vale per tutti i primi minori di $10$, quindi $2$,$3$,$5$,$7$.
Ora, osserviamo che per $n=5$ la proprietà è ovvia perché tutte le potenze di $5$ hanno come cifra delle unità $5$.
Per $n=2$,$3$ e $7$ si può osservare che le cifre delle unità delle potenze di $n$ si ripetono A gruppi di $4$. Ad esempio:
le potenze di $2$ sono $2$,$4$,$8$,$16$, $32$,$64$, $128$,$256$, ...
In particolare si ha che se il resto della divisione per $4$ è $1$ allora le cifre delle unità sono le stesse.
Poiché il resto della divisione tra $2013$ e $4$ è proprio 1, si ha che $\alpha(2)=\alpha(2^2013)$. Similmente per $3$ e $7$.
Per quanto detto prima la tesi è (forse) dimostrata.
Vale il seguente fatto $\alpha(m_1\cdotm_2)=\alpha(m_1)\cdot\alpha(m_2) \forall m_1,m_3 \in \mathbb{N}$.
Dato ogni $n \in \mathbb{N}$ può essere scritto come prodotto di primi basta verificare che $\alpha(n)=\alpha(n^2013)$ per i soli numeri primi. Inoltre, dato che la funzione $alpha$ associa a ciascun numero la sua cifra delle unità basta verificare che la proprietà vale per tutti i primi minori di $10$, quindi $2$,$3$,$5$,$7$.
Ora, osserviamo che per $n=5$ la proprietà è ovvia perché tutte le potenze di $5$ hanno come cifra delle unità $5$.
Per $n=2$,$3$ e $7$ si può osservare che le cifre delle unità delle potenze di $n$ si ripetono A gruppi di $4$. Ad esempio:
le potenze di $2$ sono $2$,$4$,$8$,$16$, $32$,$64$, $128$,$256$, ...
In particolare si ha che se il resto della divisione per $4$ è $1$ allora le cifre delle unità sono le stesse.
Poiché il resto della divisione tra $2013$ e $4$ è proprio 1, si ha che $\alpha(2)=\alpha(2^2013)$. Similmente per $3$ e $7$.
Per quanto detto prima la tesi è (forse) dimostrata.
"Lory314":Non direi: $m_1=3$, $m_2= 5$.
Vale il seguente fatto $\alpha(m_1\cdotm_2)=\alpha(m_1)\cdot\alpha(m_2) \forall m_1,m_3 \in \mathbb{N}$.
Hai $alpha(m_1 *m_2) = alpha(15)=5$, mentre $alpha(m_1)*alpha(m_2)=alpha(3)*alpha(5)= 3*5=15$.
Il resto mi sembra corretto.
Si, in effetti è vero. Probabilmente intendevo dire $\alpha(m_1\cdotm_2) = \alpha( \alpha(m_1)\cdot\alpha(m_2))$, ma in ogni caso mi sa che non serve per il resto della dimostrazione.
A me era venuta un procedimento più becero. Eseguendo le moltiplicazioni solo sulle ultime cifre (si tratta di lavorare un po' di tabelline), si vede che l'ultima cifra di $n^5$ è sempre uguale a quella di $n$. Iterando il procedimento, questo è vero per $n^{4k+1}$, e 2013 è un numero della forma $4k+1$.
Vediamo i cicli delle unità, così possiamo dire, senza colpo ferire, se e quando tutte le unità tornano in loro stesse:
$0->0$ Quindi sempre
$1 rightarrow1$ Quindi sempre
$2->4->8->6->2$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$3->9->7->1->3$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$4->6->4$ Quindi solo potenze dispari
$5->5$ Quindi sempre
$6->6$ Quindi sempre
$7->9->3->1->7$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$8->4->2->6->8$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$9->1->9$ Quindi solo potenze dispari
Quindi se $2013=_4 1$ e questo è vero.
$0->0$ Quindi sempre
$1 rightarrow1$ Quindi sempre
$2->4->8->6->2$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$3->9->7->1->3$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$4->6->4$ Quindi solo potenze dispari
$5->5$ Quindi sempre
$6->6$ Quindi sempre
$7->9->3->1->7$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$8->4->2->6->8$ Quindi solo per potenze del tipo 4k+1
$9->1->9$ Quindi solo potenze dispari
Quindi se $2013=_4 1$ e questo è vero.
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