Chi mi calcola?
Calcolare
$int_0^1ln(1+x)/(1+x^2)dx$.
P.S. Scusate, avevo scritto male gli estremi di integrazione.
$int_0^1ln(1+x)/(1+x^2)dx$.
P.S. Scusate, avevo scritto male gli estremi di integrazione.
Risposte
Per $0
$int_{0}^{1}ln(1+x)/(1+x^2)dx=sum_{k=0}^{infty)(-1)^k*int_{0}^{1}x^(2k)*ln(x+1)dx$
Ora integrando per parti si ha:
$ int_{0}^{1}x^(2k)*ln(x+1)dx=[x^(2k+1)/(2k+1)*ln(x+1)]_{0}^{1}-int_{0}^{1}x^(2k+1)/(2k+1)*1/(x+1)dx$=
$[x^(2k+1)/(2k+1)*ln(x+1)]_{0}^{1}-1/(2k+1)int_{0}^{1}x^(2k+1)/(x+1)dx$
Ora $[x^(2k+1)/(2k+1)*ln(x+1)]_{0}^{1}=ln2/(2k+1)$ mentre
$int_{0}^{1}x^(2k+1)/(x+1)dx=sum_{m=0}^{infty}(-1)^m*int_{0}^{1}x^(m)*x^(2k+1)dx=sum_{m=0}^{infty}(-1)^m/(2k+m+2)$ avendo sfruttato l'identità $1/(1+x)=sum_{m=0}^{infty}(-1)^m*x^m$
Allora
$int_{0}^{1}ln(1+x)/(1+x^2)dx=sum_{k=0}^{infty)(-1)^k*ln2/(2k+1)-sum_{k=0}^{infty)sum_{m=0}^{infty)(-1)^(m+k)/((2k+1)*(2k+m+2))$=
$ln2*sum_{k=0}^{infty)((-1)^k)/(2k+1)-sum_{k=0}^{infty)sum_{m=0}^{infty)(-1)^(m+k)/((2k+1)*(2k+m+2))=ln2*pi/4-ln2*pi/8=ln2*pi/8$ avendo sfruttato le identità
$sum_{k=0}^{infty)((-1)^k)/(2k+1)=pi/4$,
$sum_{k=0}^{infty)sum_{m=0}^{infty)(-1)^(m+k)/((2k+1)*(2k+m+2))=ln2*pi/8$
$int_{0}^{1}ln(1+x)/(1+x^2)dx=sum_{k=0}^{infty)(-1)^k*int_{0}^{1}x^(2k)*ln(x+1)dx$
Ora integrando per parti si ha:
$ int_{0}^{1}x^(2k)*ln(x+1)dx=[x^(2k+1)/(2k+1)*ln(x+1)]_{0}^{1}-int_{0}^{1}x^(2k+1)/(2k+1)*1/(x+1)dx$=
$[x^(2k+1)/(2k+1)*ln(x+1)]_{0}^{1}-1/(2k+1)int_{0}^{1}x^(2k+1)/(x+1)dx$
Ora $[x^(2k+1)/(2k+1)*ln(x+1)]_{0}^{1}=ln2/(2k+1)$ mentre
$int_{0}^{1}x^(2k+1)/(x+1)dx=sum_{m=0}^{infty}(-1)^m*int_{0}^{1}x^(m)*x^(2k+1)dx=sum_{m=0}^{infty}(-1)^m/(2k+m+2)$ avendo sfruttato l'identità $1/(1+x)=sum_{m=0}^{infty}(-1)^m*x^m$
Allora
$int_{0}^{1}ln(1+x)/(1+x^2)dx=sum_{k=0}^{infty)(-1)^k*ln2/(2k+1)-sum_{k=0}^{infty)sum_{m=0}^{infty)(-1)^(m+k)/((2k+1)*(2k+m+2))$=
$ln2*sum_{k=0}^{infty)((-1)^k)/(2k+1)-sum_{k=0}^{infty)sum_{m=0}^{infty)(-1)^(m+k)/((2k+1)*(2k+m+2))=ln2*pi/4-ln2*pi/8=ln2*pi/8$ avendo sfruttato le identità
$sum_{k=0}^{infty)((-1)^k)/(2k+1)=pi/4$,
$sum_{k=0}^{infty)sum_{m=0}^{infty)(-1)^(m+k)/((2k+1)*(2k+m+2))=ln2*pi/8$
Gran bella soluzione!
Si poteva risolvere anche cosi':
posto $x=tany$, $dx=(1+tan^2y)dy$, si ha
$int_0^1ln(1+x)/(1+x^2)dx=int_0^(pi/4)ln(1+tany)dy=int_0^(pi/4)ln(seny+cosy)dy-int_0^(pi/4)lncosydy=int_0^(pi/4)ln(sqrt2sen(y+pi/4))dy-int_0^(pi/4)lncosydy=$
$=pi/8*ln2+int_0^(pi/4)lnsen(y+pi/4)dy-int_0^(pi/4)lncosydy=$
$=pi/8*ln2+int_0^(pi/4)lncosydy-int_0^(pi/4)lncosydy=pi/8*ln2$.
Nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che
$int_0^(pi/4)lnsen(y+pi/4)dy=int_0^(pi/4)lncosydy$,
facilmente dimostrabile mediante la sostituzione $y=pi/4-z$.
Si poteva risolvere anche cosi':
posto $x=tany$, $dx=(1+tan^2y)dy$, si ha
$int_0^1ln(1+x)/(1+x^2)dx=int_0^(pi/4)ln(1+tany)dy=int_0^(pi/4)ln(seny+cosy)dy-int_0^(pi/4)lncosydy=int_0^(pi/4)ln(sqrt2sen(y+pi/4))dy-int_0^(pi/4)lncosydy=$
$=pi/8*ln2+int_0^(pi/4)lnsen(y+pi/4)dy-int_0^(pi/4)lncosydy=$
$=pi/8*ln2+int_0^(pi/4)lncosydy-int_0^(pi/4)lncosydy=pi/8*ln2$.
Nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che
$int_0^(pi/4)lnsen(y+pi/4)dy=int_0^(pi/4)lncosydy$,
facilmente dimostrabile mediante la sostituzione $y=pi/4-z$.
"Piera":
Gran bella soluzione!
Si poteva risolvere anche cosi':
posto $x=tany$, $dx=(1+tan^2y)dy$, si ha
$int_0^1ln(1+x)/(1+x^2)dx=int_0^(pi/4)ln(1+tany)dy=int_0^(pi/4)ln(seny+cosy)dy-int_0^(pi/4)lncosydy=int_0^(pi/4)ln(sqrt2sen(y+pi/4))dy-int_0^(pi/4)lncosydy=$
$=pi/8*ln2+int_0^(pi/4)lnsen(y+pi/4)dy-int_0^(pi/4)lncosydy=$
$=pi/8*ln2+int_0^(pi/4)lncosydy-int_0^(pi/4)lncosydy=pi/8*ln2$.
Nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che
$int_0^(pi/4)lnsen(y+pi/4)dy=int_0^(pi/4)lncosydy$,
facilmente dimostrabile mediante la sostituzione $y=pi/4-z$.
Secondo me voi 2 siete DECISAMENTE i più preparati del forum
Naturalmente parlo per me.
Fidati Enea, il fatto che proponga questi quesiti non fa di me una persona preparata, sono altre le persone veramente preparate di questo forum.
Tra l'altro diversi degli esercizi che ho proposto in tutti questi mesi li ho trovati già svolti...
Naturalmente ti ringrazio per l'apprezzamento.
Fidati Enea, il fatto che proponga questi quesiti non fa di me una persona preparata, sono altre le persone veramente preparate di questo forum.
Tra l'altro diversi degli esercizi che ho proposto in tutti questi mesi li ho trovati già svolti...
Naturalmente ti ringrazio per l'apprezzamento.
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