Che operazione impostare per risolvere il quesito?
Il signor PincoPallo ha 6 monete per un valore totale di 0,88 euro,
di che valore è ciascuna moneta?
Entro l'euro abbiamo tagli da cent 0,01-0,02-0,05-0,10-0,20-0,50
.. Come impostare l'equazione? Chi mi aiuta per favore?
Tutto è partito da un quesito in una chat "pinco ha 50 monete per un valore totale di 1 euro. quante monete e di quale taglio? " Risposta generale data = 0,02 ovvero 1/50
ma.. se la scrivo come equazione suonerebbe come 50X=1Y anche assumendo Y=nX resto daccapo..
Se con questo esempio viene facile 0,02 con l'esempio sopra 0,88/6=0,146periodico non è fattibile..
Grazie
di che valore è ciascuna moneta?
Entro l'euro abbiamo tagli da cent 0,01-0,02-0,05-0,10-0,20-0,50
.. Come impostare l'equazione? Chi mi aiuta per favore?
Tutto è partito da un quesito in una chat "pinco ha 50 monete per un valore totale di 1 euro. quante monete e di quale taglio? " Risposta generale data = 0,02 ovvero 1/50
ma.. se la scrivo come equazione suonerebbe come 50X=1Y anche assumendo Y=nX resto daccapo..
Se con questo esempio viene facile 0,02 con l'esempio sopra 0,88/6=0,146periodico non è fattibile..
Grazie
Risposte
"Lorylory":
Il signor PincoPallo ha 6 monete per un valore totale di 0,88 euro,
50, 20, 10, 5, 2, 1 sembra funzionare. Magari ci sono altre soluzioni. Ma mi sembra difficile. 20 20 20 .. no.
Per l'altro problema abbiamo anche 50, 2 e 48 monete da 1.
Qui ci potrebbero essere altre soluzioni. Controllo.
Grazie Ghira
il punto è che non so proprio come si imposta..
Nessuno che sappia qualcosa, per favore?
Non vorrei fare un doppione in "giochi matematici" ma non so proprio quale sia la sezione giusta,
perché la questione non appartiene ad un compito scolastico ma nel quotidiano
e il mio interesse è non la soluzione ma l'impostazione per giungere alla soluzione..
E' da media, da liceo, da che..?
il punto è che non so proprio come si imposta..
Nessuno che sappia qualcosa, per favore?
Non vorrei fare un doppione in "giochi matematici" ma non so proprio quale sia la sezione giusta,
perché la questione non appartiene ad un compito scolastico ma nel quotidiano
e il mio interesse è non la soluzione ma l'impostazione per giungere alla soluzione..
E' da media, da liceo, da che..?
A mio parere, la via più pratica è iniziare "togliendo" i pezzi più grossi finché si può, per poi passare a quelli di taglio appena inferiore e ripetere finché non esaurisci tutto.
È evidente che esistono più soluzioni.
Peraltro nella sezione "Scervelliamoci un po'" avevo postato un paio di quesiti relativi a quest'argomento ma a quest'ora non mi metto a cercarli
Cordialmente, Alex
È evidente che esistono più soluzioni.
Peraltro nella sezione "Scervelliamoci un po'" avevo postato un paio di quesiti relativi a quest'argomento ma a quest'ora non mi metto a cercarli
Cordialmente, Alex
Ciao Alex grazie del suggerimento ma.. help me..
cerco un sistema matematico di impostazione
non alla caxxo..)) Aiuto!!!!
grazie del suggerimento ma.. help me.. cerco un sistema matematico di impostazione
non alla caxxo..
)) Aiuto!!!!
Ho fatto come ha detto axpgn. È perfettamente ragionevole. Anzi.
Magari puoi fare qualcosa con le funzioni generatrici.
Magari puoi fare qualcosa con le funzioni generatrici.
Visto che cerchi una impostazione formale, secondo me queste sono equazioni diofantee (il nome fa paura eh? 
), cioè equazioni in cui le soluzioni che si cercano sono dei numeri interi e anche i coefficienti sono interi https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_diofantea
Le incognite sono il numero di monete, i coefficienti sono i valori possibili, che possiamo prendere come numeri interi moltiplicando per100, cioè contando il numero di centesimi, es. invece di $0,02$ euro prendiamo $2$ centesimi etc.
Chiamando $x_1,...,x_6$ il numero di monete rispettivamente di $1, 2 ,5, 10, 20, 50$ possiamo scrivere:
$x_1+2x_2+5x_3+10 x_4+20x_5+50x_6=88$ (la somma di valori deve fare $88$)
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6$ (le monete devono essere in totale $6$)
E inoltre le soluzioni devono essere positive.
Come si risolve il sistema algebricamente, cioè con un metodo algebrico, non a casaccio per tentativi?
Boh, le mie reminiscenze di algebra finiscono qui, chiedetelo a quelli di algebra
Mi sa che è meglio il metodo informale.
Le equazioni diofantee non sono roba da scuola, più università, e men che meno da Secondaria I grado
.
), cioè equazioni in cui le soluzioni che si cercano sono dei numeri interi e anche i coefficienti sono interi https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_diofanteaLe incognite sono il numero di monete, i coefficienti sono i valori possibili, che possiamo prendere come numeri interi moltiplicando per100, cioè contando il numero di centesimi, es. invece di $0,02$ euro prendiamo $2$ centesimi etc.
Chiamando $x_1,...,x_6$ il numero di monete rispettivamente di $1, 2 ,5, 10, 20, 50$ possiamo scrivere:
$x_1+2x_2+5x_3+10 x_4+20x_5+50x_6=88$ (la somma di valori deve fare $88$)
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6$ (le monete devono essere in totale $6$)
E inoltre le soluzioni devono essere positive.
Come si risolve il sistema algebricamente, cioè con un metodo algebrico, non a casaccio per tentativi?
Boh, le mie reminiscenze di algebra finiscono qui, chiedetelo a quelli di algebra
Mi sa che è meglio il metodo informale.
Le equazioni diofantee non sono roba da scuola, più università, e men che meno da Secondaria I grado
.
Ciao Gabriella127 Mitica!!!!!
Mi andrò a vedere per bene tutto!!!!
Grazie infinite!!
(è quello che cercavo)
(p.s. : l'avevo intuito, c'ero andata vicino per logica..
anche se non rammento nulla di ciò che ho studiato cent'anni fa..
e comunque non conosco le equazioni diofantee.. colmerò)
grazie ancora!!!)
Il "metodo informale"? Giammai
Mitica!!!!! Mi andrò a vedere per bene tutto!!!!
Grazie infinite!!
(è quello che cercavo)
(p.s. : l'avevo intuito, c'ero andata vicino per logica..
anche se non rammento nulla di ciò che ho studiato cent'anni fa..
e comunque non conosco le equazioni diofantee.. colmerò
) grazie ancora!!!)
Il "metodo informale"? Giammai
Beh, "metodo informale" mica tanto, quello che ho descritto non è altro che un algoritmo o vuoi dire che la "divisione euclidea" è "informale"?
Non confondere un algoritmo con l'andare per tentativi ...
Non confondere un algoritmo con l'andare per tentativi ...
"Lorylory":
Ciao Gabriella127
Grazie infinite!!
Figurati!
"Lorylory":
Il "metodo informale"? Giammai
Così mi piace! Duri e puri!
"gabriella127":
Visto che cerchi una impostazione formale, secondo me queste sono equazioni diofantee (il nome fa paura eh?
Le incognite sono il numero di monete, i coefficienti sono i valori possibili, che possiamo prendere come numeri interi moltiplicando per100, cioè contando il numero di centesimi, es. invece di $ 0,02 $ euro prendiamo $ 2 $ centesimi etc.
Chiamando $ x_1,...,x_6 $ il numero di monete rispettivamente di $ 1, 2 ,5, 10, 20, 50 $ possiamo scrivere:
$ x_1+2x_2+5x_3+10 x_4+20x_5+50x_6=88 $ (la somma di valori deve fare $ 88 $)
$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6 $ (le monete devono essere in totale $ 6 $)
E inoltre le soluzioni devono essere positive.
Come si risolve il sistema algebricamente, cioè con un metodo algebrico, non a casaccio per tentativi?
Boh, le mie reminiscenze di algebra finiscono qui, chiedetelo a quelli di algebra
Mi sa che è meglio il metodo informale.
Le equazioni diofantee non sono roba da scuola, più università, e men che meno da Secondaria I grado
Secondo me ti complichi la vita. Generalmente questo tipo di problemi funziona bene se trovi un polinomio o una funzione generatrice che ti risolve il problema in un modo combinatorio, e poi ti basta cercare un coefficiente di un termine del polinomio. Ad esempio nel nostro caso
\[ P(x) = x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \]
dove la \(x\) è semplicemente una indeterminata, e gli esponenti rappresentano i valori delle monete possibili. Ora siccome abbiamo sei monete e vogliamo avere 88 euro prendiamo
\[ Q(x) = P^6(x)= \left( x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^6 \]
l'esponenete \(6 \) c'è perché abbiamo 6 monete e ciascuna può essere presa con quei valori. Ora basta cercare il coefficiente di \(x^{88} \) in \(Q(x) \) e dividere per possibili ripetizioni. Nel nostro caso abbiamo che il coefficiente di \(x^{88} \) in \(Q(x) \) è \(720 \). Ora \(720=6! \) quindi già qui credo potremmo concludere che ci sia solo una combinazione possibile a meno di permutazione. Comunque sia se vogliamo essere più precisi (visto che non è comunque sempre il caso):
\[ \left( x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k \left( x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^{6-k} \]
abbiamo che il coefficiente di \(x^{88} \) in \( Q(x) \) dalla formula seguente
\[ 720= \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} c_{k} \]
dove \( c_k \) è il coefficiente di \( x^{88-k} \) in \( \left( x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^{6-k} \). Vediamo facilmente che \( c_k = 0 \) per \(k \neq 1 \) e \( c_k= 5! \) per \( k=1 \). Continuando in questo modo abbiamo che
\[720 x^{88} = (6 x) \cdot (5 x^2 ) \cdot (4 x^5 ) \cdot (3 x^{10} ) \cdot (2 x^{20} ) \cdot ( 1 x^{50} ) \]
da cui abbiamo una sola possibilità (a meno di permutazioni) con sei monete che ci restituisce \(88\). Ovver
\[ 1+2+3+5+10+20+50 = 88 \]
tutte le altre combinazioni di 6 monete ci restituiscono un valore diverso.
"3m0o":
[quote="gabriella127"]Visto che cerchi una impostazione formale, secondo me queste sono equazioni diofantee (il nome fa paura eh?
Le incognite sono il numero di monete, i coefficienti sono i valori possibili, che possiamo prendere come numeri interi moltiplicando per100, cioè contando il numero di centesimi, es. invece di $ 0,02 $ euro prendiamo $ 2 $ centesimi etc.
Chiamando $ x_1,...,x_6 $ il numero di monete rispettivamente di $ 1, 2 ,5, 10, 20, 50 $ possiamo scrivere:
$ x_1+2x_2+5x_3+10 x_4+20x_5+50x_6=88 $ (la somma di valori deve fare $ 88 $)
$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6 $ (le monete devono essere in totale $ 6 $)
E inoltre le soluzioni devono essere positive.
Come si risolve il sistema algebricamente, cioè con un metodo algebrico, non a casaccio per tentativi?
Boh, le mie reminiscenze di algebra finiscono qui, chiedetelo a quelli di algebra
Mi sa che è meglio il metodo informale.
Le equazioni diofantee non sono roba da scuola, più università, e men che meno da Secondaria I grado
Secondo me ti complichi la vita. Generalmente questo tipo di problemi funziona bene se trovi un polinomio o una funzione generatrice che ti risolve il problema in un modo combinatorio, e poi ti basta cercare un coefficiente di un termine del polinomio. Ad esempio nel nostro caso
\[ P(x) = x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \]
dove la \(x\) è semplicemente una indeterminata, e gli esponenti rappresentano i valori delle monete possibili. Ora siccome abbiamo sei monete e vogliamo avere 88 euro prendiamo
\[ Q(x) = P^6(x)= \left( x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^6 \]
l'esponenete \(6 \) c'è perché abbiamo 6 monete e ciascuna può essere presa con quei valori. Ora basta cercare il coefficiente di \(x^{88} \) in \(Q(x) \) e dividere per possibili ripetizioni. Nel nostro caso abbiamo che il coefficiente di \(x^{88} \) in \(Q(x) \) è \(720 \). Ora \(720=6! \) quindi già qui credo potremmo concludere che ci sia solo una combinazione possibile a meno di permutazione. Comunque sia se vogliamo essere più precisi (visto che non è comunque sempre il caso):
\[ \left( x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k \left( x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^{6-k} \]
abbiamo che il coefficiente di \(x^{88} \) in \( Q(x) \) dalla formula seguente
\[ 720= \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} c_{k} \]
dove \( c_k \) è il coefficiente di \( x^{88-k} \) in \( \left( x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^{6-k} \). Vediamo facilmente che \( c_k = 0 \) per \(k \neq 1 \) e \( c_k= 5! \) per \( k=1 \). Continuando in questo modo abbiamo che
\[720 x^{88} = (6 x) \cdot (5 x^2 ) \cdot (4 x^5 ) \cdot (3 x^{10} ) \cdot (2 x^{20} ) \cdot ( 1 x^{50} ) \]
da cui abbiamo una sola possibilità (a meno di permutazioni) con sei monete che ci restituisce \(88\). Ovver
\[ 1+2+3+5+10+20+50 = 88 \]
tutte le altre combinazioni di 6 monete ci restituiscono un valore diverso.[/quote]
Un caso più interessante è per esempio \(38\) invece di \(88\), il coefficiente di \(x^{38} \) è 390. Come facciamo a capire in che modi possiamo scegliere le monete?
Come prima guardiamo
\[ 390 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} c_k \]
In questo caso abbiamo \(c_0 = 30 \), \( c_1=40 \) e \(c_3=6 \), mentre per \(k \in \{2,4,5,6\} \) abbiamo \(c_k=0\).
Ora la combinazione che corrisponde a \(c_0=30 \) è
\[ (15x^{8})(2x^{10})(x^{20}) \]
ci sono due combinazioni che corrispondono a \(c_1=40 \) che sono
\[ (5x^2) \left( (4x^{15})(x^{20}) + (4x^5)(x^{10})(x^{10})(x^{10}) \right) \]
mentre quella che corrisponde a \(c_3=6 \) è
\[ ((3x^5)(2x^{10})(x^{20}) \]
quindi in totale abbiamo
\[ \begin{matrix}
390 x^{38} &= (1 x^0) (15x^{8})(2x^{10})(x^{20}) +(6x) (5x^2) \left( (4x^{15})(x^{20}) + (4x^5)(x^{30}) \right) + (20x^3)((3x^5)(2x^{10})(x^{20})
\end{matrix} \]
da cui deduciamo che ci sono 4 modi (a meno di permutazioni) di scrivere 38 con esattamente 6 monete che possono avere il valore di \(1,2,5,10,20,50 \) euro. In altre parole il numero di modi di scrivere \(n \) con 6 monete che possono avere questi valori è il numero di addendi nella formula del coefficiente di \(x^n \) nel polinomio \(Q(x) \). Dove la formula del coefficiente è
\[ \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} c_{k,n} \]
ricordo che anche \(c_{k,n} \) sono delle sommatorie, poiché è il coefficiente di \(x^{n-k} \) nel polinomio \( (x^2+x^5+x^{10}+x^{20}+x^{50})^{6-k} \).
Da qui: non è difficile scrivere un programmino che non solo ci restituisce il numero di modi ma anche i modi. Infatti per 38 i modi sono
\[2+2+2+2 +10 + 20 \]
\[1+2+5+5+5+20 \]
\[ 1+2+5+10+10+10 \]
\[ 1+1+1+5+10+20 \]
Ciao 3m0o! Non mi ero accorta della tua risposta, perché non avevo visto che il thread era stato spostato in Giochi.
Con un po' di calma me la leggo
Con un po' di calma me la leggo
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