Cesenatico 2012 1

[Omar931]

Il primo facile facile

Sui lati di un triangolo ABC vengono scelti tre punti D,E ed F (rispettivamente su BC, AC e AB) in modo che il quadrilatero AFDE sia un quadrato. Se x è la lunghezza di un suo lato, dimostrare che
[tex]\frac{1}{x} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}[/tex]

[giannirecanati]

Se non ho sgarrato è incredibilmente semplice:

Se \(\displaystyle ADEF \) è un quadrato allora si deve avere \(\displaystyle DE \perp AB \) ed \(\displaystyle DE \ || AE \) da cui
\(\displaystyle AE \perp AB\). Allora \(\displaystyle ABC \) è un triangolo rettangolo in \(\displaystyle A \). Definisco \(\displaystyle AC=x+y \) ed \(\displaystyle AB=x+k \). Considero ora i triangoli \(\displaystyle CED \) e \(\displaystyle DFB \) essi sono simili da cui \(\displaystyle x^2=ky \). Ora, sostituendo con quanto detto finora, si ha:
\(\displaystyle \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{2x+(k+y)}{(x+k)(x+y)}=\frac{2x+(k+y)}{2ky+(k+y)x}=\frac{2x^2+(k+y)x}{x(2ky+(k+y)x)} \) da cui semplificando \(\displaystyle \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{x} \).

[Quinzio]

In effetti $BFD$ è simile a $BAC$ quindi $(AB)/(AC)=(FB)/(FD)$

ovvero

$(AB)/(AC)=(AB-x)/(x)$

da cui

$AB\ x = AC\ AB - AC\ x$

$x(AB+AC)= AB\ AC$

$1/x = (1)/(AB)+(1)/(AC)$

cioè lo stesso detto qui sopra un po' più snello.