Magari sbaglio, probabilmente non considero qualcosa ma...
Sicuro che c'è una terza?
Chiaramente la somma non può essere strettamente più piccolo di 10 poiché il 9 non possiamo accoppiarlo con nessun numero. E con un ragionamento analogo la somma non può essere strettamente più grande di 15, siccome il 16 possiede solo una coppia di numeri distinti compresi tra 1 e 9 la cui somma è 16, la coppia (9,7), tutte le altre coppie di numeri distinti danno come somma un numero più piccolo di 16 dunque uno tra il cerchio blu e il cerchio rosso non possiamo riempirlo.
Se la somma dei numeri interni ad ogni cerchio fosse 10, allora nel cerchio blue e rosso vanno in qualche ordine (9,1) e (8,2), inoltre le terne di 10 con numeri distini (7,1,2), (6,1,3), (5,1,4), (5,2,3). Queste terne hanno tutte almeno un numero in comune con le coppie (9,1) e (8,2) pertanto nessuna delle terne precedenti può essere messa nel cerchio nero.
Per 11, 13, 14 okay. Al 12 arrivo dopo aver escluso il 15.
Se la somma fosse 15 abbiamo che le coppie possibili sono (9,6) e (8,7), mentre le terne di 15 sono (9,1,5), (9,2,4), (8,1,6), (8,2,5), (8,3,4), (7,2,6), (7,3,5) e (6,4,5), come per il 10 abbiamo che tutte le terne possiedono almeno un numero in comune con le coppie (9,6) e (8,7) dunque non è possibile posizionare alcuna terna nel cerchio nero.
Dunque rimane il 12!
Per il 12 abbiamo tre coppie possibili (9,3), (8,4) e (7,5), mentre le terne sono
(9,1,2), (8,1,3), (7,1,4), (7,2,3), (6,1,5), (6,2,4), (5,3,4).
Se nel cerchio blu e rosso ci mettiamo le coppie (9,3) e (8,4).
L'unica terna che non possiede numeri in comune con queste due coppie è la terna (6,1,5), quindi per forza dev'essere questa ad andare nel cerchio nero. Pertanto nei cerchi giallo e verde devono andarci delle terne due terne che possiedono un elemento (ed uno solo) in comune con la terna (6,1,5). Per la scelta di (9,3) e (8,4) come coppie da mettere nei cerchi blu e rossi il numero 5 dev'essere il numero "in mezzo" al cerchio nero.
Dunque abbiamo che il cerchio nero è (6,5,1) (l'altro caso è invariante per simmetria) l'unica altra terna che possiede il 6 è la terna (6,2,4) dunque dunque abbiamo che nel cerchio blu ci va
(8,4) nel cerchio giallo (4,2,6) nel cerchio nero (6,5,1), ma le altre terne che possiedono il numero 1 ovvero le uniche possibili da mettere nel cerchio verde hanno almeno un numero in comune con la coppia (8,4) o con la terne (4,2,6) il che non è possibile. Dunque le coppie (9,3) e (8,4) non possono essere loro ad essere posizionate nei cerchi blu e rossi.
Se nel cerchio blu e rosso ci mettiamo le coppie (9,3) e (7,5).
L'unica terna che non possiede numeri in comune con queste due coppie è la terna (6,2,4), quindi forzatamente deve stare nel cerchio nero. Se a "lato" ci fossero il 6 ed il 4, allora nei cerchi gialli e verdi dobbiamo mettere rispettivamente una terna con il 6 in comune e una terna con il 4 in comune. Per il 6 l'unica altra terna è (6,1,5) e dunque la coppia (7,5) ha in comune il 5 e dev'essere quella nel cerchio blu.
Blu (7,5), giallo (5,1,6), nero (6,2,4). Tutte le altre terne con il 4 hanno un numero in comune con (7,5) e con (5,1,6) che non è possibile.
Con un ragionamento analogo abbiamo che se nel nero mettiamo (6,4,2) allora
Blu (7,5), giallo (5,1,6) e nero (6,4,2). Tutte le altre terne con il 2 hanno almeno un numero in comune con (7,5) e (5,1,6). Che non è possibile.
Dunque il 6 deve andare in mezzo. Consideriamo (4,6,2)
Dunque nel giallo ci può andare o (5,3,4) o (7,1,4). La prima terna la possiamo escludere subito perché possiede un numero in comune sia con (9,3) che con (7,5). Rimane dunque (7,1,4) e forza la configurazione seguente
Blu (5,7), giallo (7,1,4), nero (4,6,2). Ma tutte le terne che possiedono il 2 hanno almeno un elemento in comune (5,7) e con (7,1,4) dunque il 6 non può stare in mezzo. Quindi neanche le coppie (9,3) e (7,5) possono essere messe nel cerchio blu e rosso.
Rimane unicamente la possibilità delle coppie (8,4) e (7,5) nei cerchi blu e rossi.
Terne possibili: (9,1,2), (8,1,3), (7,1,4), (7,2,3), (6,1,5), (6,2,4), (5,3,4).
La scelta delle coppie forza come terna nel cerchio nero la terna (9,1,2). Siccome il 12 possiede una sola terna con il 9 allora il numero 9 deve andare al centro. E forza la configurazione (1,9,2) (oppure (2,9,1) ma è invariante per simmetria).
Dunque nel giallo possiamo metterci (8,3,1) oppure (7,4,1) oppure (6,5,1).
Blu (4,8), giallo (8,3,1), nero (1,9,2) => tutte le altre terne con il 2 hanno almeno un numero in comune con (4,8) o con (8,3,1).
La terna (7,4,1) la possiamo escludere siccome possiede un numero in comune sia con (8,4) che con (7,5).
Blu (7,5), giallo (5,6,1), nero (1,9,2) => tutte le altre terne con il 2 possiedono almeno un numero in comune con (7,5) o con (5,6,1). Dunque neanche (8,4) e (7,5) possono andare nei cerchi blu e rossi.
Quindi non esiste una configurazione possibile.
Eh, no … c'è proprio una terza diversa disposizione nei cerchi …
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