Cercare la frazione che approssima meglio $sqrt(\pi+e^2)$
Questa mattina mi dilettavo in rete cercando algoritmi che permettano di trovare frazioni che meglio approssimano numeri irrazionali (come ad esempio la celebre $\pi=355/113$ che approssima correttamente il PiGreco alla sesta posizione decimale).
Ammetto che questa branca dell'algebra mi era QUASI sconosciuta, e l'ho trovata divertente. Per questo vi pongo un quesito.
1. Cercate la frazione che meglio approssima il valore $sqrt(\pi+e^2)$ alla quinta posizione decimale
2. Cercate la frazione che meglio approssima il valore $sqrt(\pi+e^2)$ alla sesta posizione decimale
Io ho trovato due possibili risposte: per il quesito 1. è accettabile (numeratore di 3 cifre, e denominatore di 3 cifre), per il quesito 2. è un po' voluminosa (numeratore di 5 cifre, denominatore di 4 cifre), vediamo se riuscite a fare meglio di me
Poi posterò ciò che ho trovato io (se volete continuare ad approssimare alla settima, ottava, nona posizione decimale, avvisatemi che mi metto a fare due calcoli
)
p.s. Se fate meglio di me, vorrò sapere che algoritmo avete usato!
ciauz
Ammetto che questa branca dell'algebra mi era QUASI sconosciuta, e l'ho trovata divertente. Per questo vi pongo un quesito.
1. Cercate la frazione che meglio approssima il valore $sqrt(\pi+e^2)$ alla quinta posizione decimale
2. Cercate la frazione che meglio approssima il valore $sqrt(\pi+e^2)$ alla sesta posizione decimale
Io ho trovato due possibili risposte: per il quesito 1. è accettabile (numeratore di 3 cifre, e denominatore di 3 cifre), per il quesito 2. è un po' voluminosa (numeratore di 5 cifre, denominatore di 4 cifre), vediamo se riuscite a fare meglio di me

Poi posterò ciò che ho trovato io (se volete continuare ad approssimare alla settima, ottava, nona posizione decimale, avvisatemi che mi metto a fare due calcoli

p.s. Se fate meglio di me, vorrò sapere che algoritmo avete usato!
ciauz
Risposte
ma c'è una tecnica per trovare tali algoritmi o è tutto affidato ai tentativi?
"esteta_edonista":
ma c'è una tecnica per trovare tali ALGORITMI o è tutto affidato ai tentativi?
forse intendevi dire "una tecnica per trovare tali FRAZIONI" (non agoritmi)
Se ho inteso correttamente, sì, esiste una tecnica che permette di risalire a frazioni che meglio approssimano un numero irrazionale partendo dal suo valore espresso "con la virgola"
(in altre parole non si tratta di semplificare l'espressione fino a giungere ad una frazione. Io sono partito dal risultato decimale ch'essa dà, per risalire ad una frazione. Esattamente come è stato fatto per scoprire il rapporto che approssima il PiGreco alla sesta posizione decimale, e che ho scritto nel primo post come esempio)
Spero di essere stato chiaro, se ho frainteso la tua domanda, ti chiedo scusa
Ma è possibile che questa tecnica per trovare tali frazioni venga fatta alle scuole medie ??? A me sembra di aver fatto una cosa del genere tanto tanto tanto tempo fa...
uhm, non ti saprei dire
Forse tu ricordi l'algoritmo per trovare la radice quadrata di un numero "con carta e penna"...
In questo caso ho messo la radice quadrata solo per fare scena. In altre parole avrei anche potuto chiedere "qual è la frazione che approssima meglio il numero 3,245096108 alla quinta o sesta cifra decimale?", dove quel numero è il risultato dell'espressione che ho dato.
Io alle scuole medie non ho fatto niente di simile. Poi non so a quale scuola sia andato tu
Forse tu ricordi l'algoritmo per trovare la radice quadrata di un numero "con carta e penna"...
In questo caso ho messo la radice quadrata solo per fare scena. In altre parole avrei anche potuto chiedere "qual è la frazione che approssima meglio il numero 3,245096108 alla quinta o sesta cifra decimale?", dove quel numero è il risultato dell'espressione che ho dato.
Io alle scuole medie non ho fatto niente di simile. Poi non so a quale scuola sia andato tu

Oddio non mi ricordo che metodo mi facevano usare ..... Ma era tutta una cosa meccanica, è per questo motivo che non mi ricordo niente.
Dovrei prendere un vecchio quaderno sepolto chissà dove e riguardarci...Mi ricordo che quel metodo si utilizzava anche per trovare le frazioni che producevano numeri con cifre periodiche e c'erano dei 9 da sottrarre a seconda del numero di cifre del decimale (o una cosa del genere...Non mi ricordo proprio). Comunque se ritroverò casualmente quel quad ci guardo!
Dovrei prendere un vecchio quaderno sepolto chissà dove e riguardarci...Mi ricordo che quel metodo si utilizzava anche per trovare le frazioni che producevano numeri con cifre periodiche e c'erano dei 9 da sottrarre a seconda del numero di cifre del decimale (o una cosa del genere...Non mi ricordo proprio). Comunque se ritroverò casualmente quel quad ci guardo!

Il metodo che ti ricordi è questo: dato un numero in forma decimale $a_0,a_1a_2...a_nbar{b_0b_1...b_n}$ dove $bar{b_0...b_m}$ sono le cifre del periodo, esso è equivalente alla frazione $(a_0...b_m-a_0...a_n)/(9...90...)$ nel cui denominatore ci sono tanti $9$ quante cifre del periodo e tanti $0$ quante quelle dell'antiperiodo...
Ma credo che non si possa applicare in questo caso, perché non si può conoscere a priori il valore approssimato di $sqrt(\pi + e^2)$... Altrimenti sarebbe troppo facile! Credo che gli algoritmi di cui sta parlando ToMMy!!! siano quelli che generano le frazioni continue...
Ma credo che non si possa applicare in questo caso, perché non si può conoscere a priori il valore approssimato di $sqrt(\pi + e^2)$... Altrimenti sarebbe troppo facile! Credo che gli algoritmi di cui sta parlando ToMMy!!! siano quelli che generano le frazioni continue...
E' la formula di maurer!!!! ed è la prima volta che la vedo impostata così!!!! Comunque ora ricordo...Secondo me c'è comunque dietro un ragionamento simile a quello...Ci dev'essere per forza! Solo che io non ho mai capito la logica del perché per tale approssimazione si mettono tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 0 quante quelle dell'antiperiodo: sembra una formula magica!
Una volta (tempo fa...) il mio insegnante del liceo mi aveva anche mostrato la dimostrazione... Solo che ora non me la ricordo!
In ogni caso per me bisogna ricorrere alle frazioni continue o a delle serie convergenti... anche se non saprei dire niente di più (ho finito il liceo classico... non ho una grande preparazione matematica...).
Ricordo che la serie $1+1+1/2+1/6+1/24+...1/k!$ converge ad $e$ e che (mi sembra) la serie $1-1/3+1/5-1/7...$ converga a $\pi/4$... Per quanto riguarda le frazioni continue non so dire niente...
Ma il metodo delle serie funziona bene, direi (a patto di trovare quella che si sta cercando)! Se indico con $a_n$ l'ennesimo termine della serie, avrò un'approssimazione alla k-esima cifra decimale quando $a_n-a_(n-1)<10^k$...
Nel caso preso in considerazione potrei sviluppare la radice in serie di Taylor e poi sostituire ai valori di $\pi$ e di $e$ le serie che ho ricordato prima...
A questo punto dovrei avere un algoritmo (anche se un po' macchinoso) per calcolare il valore di $sqrt(\pi + e^2)$ alla cifra decimale che voglio...
In ogni caso per me bisogna ricorrere alle frazioni continue o a delle serie convergenti... anche se non saprei dire niente di più (ho finito il liceo classico... non ho una grande preparazione matematica...).
Ricordo che la serie $1+1+1/2+1/6+1/24+...1/k!$ converge ad $e$ e che (mi sembra) la serie $1-1/3+1/5-1/7...$ converga a $\pi/4$... Per quanto riguarda le frazioni continue non so dire niente...
Ma il metodo delle serie funziona bene, direi (a patto di trovare quella che si sta cercando)! Se indico con $a_n$ l'ennesimo termine della serie, avrò un'approssimazione alla k-esima cifra decimale quando $a_n-a_(n-1)<10^k$...
Nel caso preso in considerazione potrei sviluppare la radice in serie di Taylor e poi sostituire ai valori di $\pi$ e di $e$ le serie che ho ricordato prima...
A questo punto dovrei avere un algoritmo (anche se un po' macchinoso) per calcolare il valore di $sqrt(\pi + e^2)$ alla cifra decimale che voglio...
sì, maurer, è un pò macchinoso, ma potresti giungere ad una soluzione...
quando hai detto "bisogna ricorrere alla frazioni continue", ti sei avvicinato molto a ciò che ho fatto io...
cmq io sto aspettando ancora una risposta
altrimenti posto il mio risultato e metodo....
quando hai detto "bisogna ricorrere alla frazioni continue", ti sei avvicinato molto a ciò che ho fatto io...
cmq io sto aspettando ancora una risposta

Bé, per quanto mi riguarda, non ho competenze sufficienti per provare a lavorare con le frazioni continue... Quindi per me puoi postare il tuo risultato...
Idem...Vediamo se arriva qualche matematico. ;-D. Ma ne dubito...Ho l'impressione che siano quasi tutti al mare.
con il metodo delle frazioni continue ho trovato un approsimazione con 5 cifre sia al numeratore che al denominatore..mi sa che è meglio che posti il tuo..

Il modo di usare il metodo ispirato alle frazioni continue, noto con sufficiente precisione il valore da approssimare, si trova descritto in modo semplice in Vladimir Arnold, Metodi Geometrici della teoria delle Equazioni Differenziali, Editori Riuniti, un testo abbastanza diffuso qualche anno fa. Ripescando un programmino Maple, si trova $sqrt(pi+e^2) \approx \frac{1494975989}{460687739}$. Qualcosa c'è anche in Mathworld e sul solito wikipedia