Calcolo combinatorio Win for Life
Ciao a tutti sono un amante della matematica, ma non sono laureato od altro...quindi uno smanettone senza basi solide!
Ho un curiosità matematica che non riesco a risolvere.
Calcolare quante sono le probabiltà di azzeccare il 9, l'8 e il 7 al gioco "Win for Life".
E' facile calcolare le possibilità di azzeccare il 10;
Infatti basta fare il reciproco di $(n!)/(k!(n-k)!)$ dove n=20 e k=10 (1 possibilità su 184756)
Ma per il caso in cui io volessi azzeccare 9 (o 8 o 7) cifre sulle 10 estratte delle 20 disponibili, come si calcola?
Ho trovato nel forum un post che tratta della stessa cosa, ma non ho capito assolutamente niente perché vengono dati per scontati dei passaggi e dei concetti a me non chiari.
https://www.matematicamente.it/forum/win ... 46251.html
Potete indicarmi passo per passo il ragionamento e i calcoli?
Grazie in anticipo a chi volesse aiutarmi
Paolo
Ho un curiosità matematica che non riesco a risolvere.
Calcolare quante sono le probabiltà di azzeccare il 9, l'8 e il 7 al gioco "Win for Life".
E' facile calcolare le possibilità di azzeccare il 10;
Infatti basta fare il reciproco di $(n!)/(k!(n-k)!)$ dove n=20 e k=10 (1 possibilità su 184756)
Ma per il caso in cui io volessi azzeccare 9 (o 8 o 7) cifre sulle 10 estratte delle 20 disponibili, come si calcola?
Ho trovato nel forum un post che tratta della stessa cosa, ma non ho capito assolutamente niente perché vengono dati per scontati dei passaggi e dei concetti a me non chiari.
https://www.matematicamente.it/forum/win ... 46251.html
Potete indicarmi passo per passo il ragionamento e i calcoli?
Grazie in anticipo a chi volesse aiutarmi
Paolo
Risposte
Ciao,
Secondo me innanzi tutto bisogna calcolare $((20),(9))=(20!)/(9!(20-9)!)=167960$ che sono i casi possibili di 9 in 20 elementi.
Quando giochi 10 numeri giochi $((10),(9))=10$ gruppi da nove quindi $167960:10=16796$.
Le probabilità che esca 9 sono $1/16796$
Facendo la terza media e conoscendo poco il calcolo combinatorio non so se sia giusto in caso contrarip mi farebbe piacere che qualcuno mi spiegasse dove ho sbagliato.
Ciao a tutti.
Secondo me innanzi tutto bisogna calcolare $((20),(9))=(20!)/(9!(20-9)!)=167960$ che sono i casi possibili di 9 in 20 elementi.
Quando giochi 10 numeri giochi $((10),(9))=10$ gruppi da nove quindi $167960:10=16796$.
Le probabilità che esca 9 sono $1/16796$
Facendo la terza media e conoscendo poco il calcolo combinatorio non so se sia giusto in caso contrarip mi farebbe piacere che qualcuno mi spiegasse dove ho sbagliato.
Ciao a tutti.
Puoi avere la fortuna di fare anche 0
"batho":
Ciao a tutti sono un amante della matematica, ma non sono laureato od altro...quindi uno smanettone senza basi solide!
Ho un curiosità matematica che non riesco a risolvere.
Calcolare quante sono le probabiltà di azzeccare il 9, l'8 e il 7 al gioco "Win for Life".
E' facile calcolare le possibilità di azzeccare il 10;
Infatti basta fare il reciproco di $(n!)/(k!(n-k)!)$ dove n=20 e k=10 (1 possibilità su 184756)
Ma per il caso in cui io volessi azzeccare 9 (o 8 o 7) cifre sulle 10 estratte delle 20 disponibili, come si calcola?
Ho trovato nel forum un post che tratta della stessa cosa, ma non ho capito assolutamente niente perché vengono dati per scontati dei passaggi e dei concetti a me non chiari.
https://www.matematicamente.it/forum/win ... 46251.html
Potete indicarmi passo per passo il ragionamento e i calcoli?
Grazie in anticipo a chi volesse aiutarmi
Paolo
Per semplificarmi le cose mi sono soffermato su un esempio più semplice per poi riportarlo al caso generale.
Prendo le lettere A, B,C,D,E,F (n=6 lettere)
Con k=4 ho esattamente 15 combinazioni di elementi $(n!)/(n!(n-k)!)$
Qual è la probabilità di azzeccare 2 lettere (=p) sulle 4 estratte su 6 disponibili?
Io ho ragionato cosi:
ci sono $(k!)/(p!(k-p)!)$ combinazioni di elementi, e cioè 6 possibilità che su 4 ne azzecchi 2
Quindi la possibilità di azzeccare 2(=p) lettere sulle 4(=k) lettere estratte sul totale di 6(=n) dovrebbe essere: 6 su 15, e cioè il 40%
Riportando al caso generale con:
n=90
k=10
p=9
mi viene che le possibilità sono:17485,6 (che però è un fattore 10 più grande di quanto dichiarato dalla SISAL e dai conti che si trovano in giro e cioè 1748,56)
Dove sbaglio?
Prendo le lettere A, B,C,D,E,F (n=6 lettere)
Con k=4 ho esattamente 15 combinazioni di elementi $(n!)/(n!(n-k)!)$
Qual è la probabilità di azzeccare 2 lettere (=p) sulle 4 estratte su 6 disponibili?
Io ho ragionato cosi:
ci sono $(k!)/(p!(k-p)!)$ combinazioni di elementi, e cioè 6 possibilità che su 4 ne azzecchi 2
Quindi la possibilità di azzeccare 2(=p) lettere sulle 4(=k) lettere estratte sul totale di 6(=n) dovrebbe essere: 6 su 15, e cioè il 40%
Riportando al caso generale con:
n=90
k=10
p=9
mi viene che le possibilità sono:17485,6 (che però è un fattore 10 più grande di quanto dichiarato dalla SISAL e dai conti che si trovano in giro e cioè 1748,56)
Dove sbaglio?
Ciao,
puoi considerare il problema in questo modo: hai un sacchetto con 20 palline, di cui 10 bianche (numeri vincenti) e 10 nere, calcolare la probabilità, estraendo 10 palline in blocco, di estrarre i = 0, 1, 2, ..., 10 palline bianche.
Consideriamo il caso i = 0, abbiamo $((10),(0))$ modi di scegliere le palline bianche, $((10),(10))$ modi di scegliere le palline nere e $((20),(10))$ modi di scegliere 10 palline dal sacchetto, che si trasforma in:
$p=(((10),(0))((10),(10)))/(((20),(10)))$
Quindi, fissato un i, la probabilità sarà data da:
$p=(((10),(i))((10),(10-i)))/(((20),(10)))$
che per la simmetria dei coefficienti binomiali si può scrivere anche:
$p=(((10),(i))^2)/(((20),(10)))$
prova, dovrebbe funzionare.
puoi considerare il problema in questo modo: hai un sacchetto con 20 palline, di cui 10 bianche (numeri vincenti) e 10 nere, calcolare la probabilità, estraendo 10 palline in blocco, di estrarre i = 0, 1, 2, ..., 10 palline bianche.
Consideriamo il caso i = 0, abbiamo $((10),(0))$ modi di scegliere le palline bianche, $((10),(10))$ modi di scegliere le palline nere e $((20),(10))$ modi di scegliere 10 palline dal sacchetto, che si trasforma in:
$p=(((10),(0))((10),(10)))/(((20),(10)))$
Quindi, fissato un i, la probabilità sarà data da:
$p=(((10),(i))((10),(10-i)))/(((20),(10)))$
che per la simmetria dei coefficienti binomiali si può scrivere anche:
$p=(((10),(i))^2)/(((20),(10)))$
prova, dovrebbe funzionare.
"wonnunk":
Ciao,
puoi considerare il problema in questo modo: hai un sacchetto con 20 palline, di cui 10 bianche (numeri vincenti) e 10 nere, calcolare la probabilità, estraendo 10 palline in blocco, di estrarre i = 0, 1, 2, ..., 10 palline bianche.
Consideriamo il caso i = 0, abbiamo $((10),(0))$ modi di scegliere le palline bianche, $((10),(10))$ modi di scegliere le palline nere e $((20),(10))$ modi di scegliere 10 palline dal sacchetto, che si trasforma in:
$p=(((10),(0))((10),(10)))/(((20),(10)))$
Quindi, fissato un i, la probabilità sarà data da:
$p=(((10),(i))((10),(10-i)))/(((20),(10)))$
che per la simmetria dei coefficienti binomiali si può scrivere anche:
$p=(((10),(i))^2)/(((20),(10)))$
prova, dovrebbe funzionare.
Grazie wonnunk, credo che tu abbia ragione perché i risultati derivanti dalla tua formula sono in linea con quello dichiarato da sisal.
Solo una cosa non capisco (che poi è il passaggio fondamentale):
tu scrivi:
"...abbiamo $((10),(0))$ modi di scegliere le palline bianche, $((10),(10))$ modi di scegliere le palline nere..."
nel caso in cui i=1 abbiamo 10 modi di scegliere le palline bianche e 10 modi di scegliere le palline nere.
ma non capisco perché bisogna prendere in considerazione le palline nere e moltiplicarle per quelle bianche...
riesci a spiegarmi a parole un caso di questi sopra, tipo con i=1 o i=2?
a spiegarmi bene il concetto che ci sta dietro?
Scusa ma ho la testa di legno ma devo riuscire a capirlo a tutti i costi...
Grazie
OK mi sono messo giù a studiare e ho fatto degli esempi su un foglio excel (mi si sono incrociati gli occhi) ma finalmente credo di aver capito (ma che fatica che ho fatto!)
Con n=20 e k=10 ho esattamente $((20),(10))=184.756$ combinazioni ( e cioè 1 possibilità su 184.756 di vincere)
Ora, consideriamo il caso in cui io voglia calcolare la probabilità di fare 8 e non 10
Mettiamo p=8
Ho ragionato cosi:
Mettiamo per esempio che io abbia giocato i numeri 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 e fissiamo per iniziare i primi otto numeri.
Per ottenere la vincita con "8" devo necessariamente avere al posto delle ultime 2 cifre tutte le combinazioni possibili dei rimanenti numeri compresi tra 11 e 20
Questo significa che ho $((10),(2))$ combinazioni e cioè: $((10),(2))=45$
Ma ora devo fare lo stesso ragionamento fissando le cifre 1,2,3,4,5,6,7,9 ripetendo lo stesso ragionamento fatto sopra per i numeri da 11 a 20 che andranno a sostituire la cifra 8 e la cifra 10.
Iterando il ragionamento per tutte le cifre rimanenti ho esattamente $((10),(8))=45$ combinazioni da moltiplicare per le 45 combinazioni ottenute da $((10),(2))$ ottenendo cosi $45x45=2025$ combinazioni possibili per l'uscita dell"8".
Cosi la probabilità di fare 8 sono le combinazioni possibili (45) diviso i casi possibili delle decine che posso uscire (184.756) e cioè:
$(((10),(2))*((10),(8)))/(((20),(10)))=91,2375$
Che bello ce l'ho fatta...!!!
Con n=20 e k=10 ho esattamente $((20),(10))=184.756$ combinazioni ( e cioè 1 possibilità su 184.756 di vincere)
Ora, consideriamo il caso in cui io voglia calcolare la probabilità di fare 8 e non 10
Mettiamo p=8
Ho ragionato cosi:
Mettiamo per esempio che io abbia giocato i numeri 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 e fissiamo per iniziare i primi otto numeri.
Per ottenere la vincita con "8" devo necessariamente avere al posto delle ultime 2 cifre tutte le combinazioni possibili dei rimanenti numeri compresi tra 11 e 20
Questo significa che ho $((10),(2))$ combinazioni e cioè: $((10),(2))=45$
Ma ora devo fare lo stesso ragionamento fissando le cifre 1,2,3,4,5,6,7,9 ripetendo lo stesso ragionamento fatto sopra per i numeri da 11 a 20 che andranno a sostituire la cifra 8 e la cifra 10.
Iterando il ragionamento per tutte le cifre rimanenti ho esattamente $((10),(8))=45$ combinazioni da moltiplicare per le 45 combinazioni ottenute da $((10),(2))$ ottenendo cosi $45x45=2025$ combinazioni possibili per l'uscita dell"8".
Cosi la probabilità di fare 8 sono le combinazioni possibili (45) diviso i casi possibili delle decine che posso uscire (184.756) e cioè:
$(((10),(2))*((10),(8)))/(((20),(10)))=91,2375$
Che bello ce l'ho fatta...!!!
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