Bigliettini e probabilità
Alice scrive su un \( n \) fogli di carta dei numeri reali positivi in modo casuale. I fogli vengono inseriti in una ciotola e vengono pescati in modo uniforme uno alla volta da Bob. Bob guarda un foglio alla volta e può decidere di prenderlo oppure di scartarlo e passare al prossimo foglietto. Una volta scartato non può più selezionarlo in futuro. Per ogni foglietto che Bob prende deve pagare 1 euro ad Alice, mentre se scarta un bigliettino non deve pagare nulla. Bob non vorrebbe pagare molti soldi ad Alice, ma gli piacerebbe al contempo riuscire a selezionare il bigliettino con scritto il numero più grande.
Bob decide quindi per la seguente strategia:
- Osserva i primi \( \lfloor n/10 \rfloor \) bigliettini ma li scarta tutti, ricordandosi però il valore più grande osservato. Chiameremo questo valore \(m\).
- A partire dal bigliettino \( \lfloor n/10 \rfloor + 1 \) getterà tutti i bigliettini con su scritto un numero più piccolo di \(m\) e prenderà invece il primo bigliettino con un valore più grande di \(m\). Dopodiché aggiorna il valore di \(m\) con il valore del bigliettino appena selezionato e continua con la stessa strategia fin che non finisce i soldi. Una volta che ha finito i soldi si ferma e non osserva più i numeri.
1) Dimostra che con questa strategia, in media, Bob paga meno di \( \ln(10) \approx 2.3 \) euro indipendentemente dal valore di \(n\).
2) Qual è la probabilità per Bob di selezionare con questa strategia il bigliettino più grande?
3) Riuscirebbe a fare meglio di così? Dove con meglio intendo in media pagare meno oppure aumentando la probabilità di pescare il bigliettino più grande senza peggiorare però l'altra condizione.
Bob decide quindi per la seguente strategia:
- Osserva i primi \( \lfloor n/10 \rfloor \) bigliettini ma li scarta tutti, ricordandosi però il valore più grande osservato. Chiameremo questo valore \(m\).
- A partire dal bigliettino \( \lfloor n/10 \rfloor + 1 \) getterà tutti i bigliettini con su scritto un numero più piccolo di \(m\) e prenderà invece il primo bigliettino con un valore più grande di \(m\). Dopodiché aggiorna il valore di \(m\) con il valore del bigliettino appena selezionato e continua con la stessa strategia fin che non finisce i soldi. Una volta che ha finito i soldi si ferma e non osserva più i numeri.
1) Dimostra che con questa strategia, in media, Bob paga meno di \( \ln(10) \approx 2.3 \) euro indipendentemente dal valore di \(n\).
2) Qual è la probabilità per Bob di selezionare con questa strategia il bigliettino più grande?
3) Riuscirebbe a fare meglio di così? Dove con meglio intendo in media pagare meno oppure aumentando la probabilità di pescare il bigliettino più grande senza peggiorare però l'altra condizione.
Risposte
Non capisco una cosa preliminare.
Come fa a pagare meno di 2.3 Euro ?
Se $n$ e' molto alto, a piacere, la probabilita' di incontrare il numero massimo (e quindi da li in poi smettere di pagare) prima di altri numeri piu' piccoli si abbassa sempre di piu'.
E poi se continua la sua strategia fino a che non finisce i soldi, la quantita' di soldi di partenza non conta nulla ?
Come fa a pagare meno di 2.3 Euro ?
Se $n$ e' molto alto, a piacere, la probabilita' di incontrare il numero massimo (e quindi da li in poi smettere di pagare) prima di altri numeri piu' piccoli si abbassa sempre di piu'.
E poi se continua la sua strategia fino a che non finisce i soldi, la quantita' di soldi di partenza non conta nulla ?
"Quinzio":
Come fa a pagare meno di 2.3 Euro ?
Infatti ho scritto: in media paga meno 2.3 euro. Chiaramente potrebbe succedere che paga \(n - \lfloor n/10 \rfloor \) euro se pescasse i bigliettini in ordine crescente. Però è molto bassa la probabilità che li peschi in questo ordine preciso
"Quinzio":
E poi se continua la sua strategia fino a che non finisce i soldi, la quantita' di soldi di partenza non conta nulla ?
Ovviamente supponi che abbia \(n\) euro, ergo potrebbe comprare sempre tutti i bigliettini
Un ragionamento che avevo fatto a spanne per farmi un'idea, era questo...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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