Base 2001
Ecco un esercizio che spero avrà più successo...
Trovare tutti gli interi positivi n tale che la rappresentazione di n! (=1*2*3*...*n) in base 2001 consiste solo di 0 ed 1...
Trovare tutti gli interi positivi n tale che la rappresentazione di n! (=1*2*3*...*n) in base 2001 consiste solo di 0 ed 1...
Risposte
mamma mia...sembra tanto un esercizio tipo quelli delle olimpiadi della matematica...
)Gia vecchio! Io nn partecipo alle oli ma questi esercizi mi attirano. Purtroppo non sono così immediati e molte persone si scoraggiano solo guardandoli. Il problema è che bisogna avere voglia di sbatterci la testa! Per questo motivo mancano le risposte ai miei problemi,credo... Ne posto anche un'altro, casomai questo attirasse per arcani motivi qualche persona.
Dato un quadrato di lato unitario ABCD ed un punto P del piano dimostrare che vale
A*PB+PC*PD >= 1.
Il mio schizzo di soluzione (probabilmente errato)sfrutta le derivate e quindi, anche nel remoto caso che sia corretto, lo ritengo una m***a: datemi voi una mano!
Dato un quadrato di lato unitario ABCD ed un punto P del piano dimostrare che vale
A*PB+PC*PD >= 1.Il mio schizzo di soluzione (probabilmente errato)sfrutta le derivate e quindi, anche nel remoto caso che sia corretto, lo ritengo una m***a: datemi voi una mano!
Sei sicuro del testo Thomas??? Dalla piccola dimostrazione che ho fatto (Forse sbagliata per carità!!!!) mi risulta addirittura PA*PB>=1 e PC*PD>=1, quindi a maggior ragione lo sarà PA*PB+PC*PD!!
Beh..in tal caso avresti risolto il problema. Qualunque cosa che trovi postala! (Se vuoi quando ho tempo posto anch'io, anche se mi vergogno di ciò che ho pensato!). Cmq il testo credo sia corretto.
Nn capisco cmq ciò che dici: se prendo per esempio come punto P il punto medio di AB: PA*PB =1/2*1/2 = 1/4 < 1..
Nn capisco cmq ciò che dici: se prendo per esempio come punto P il punto medio di AB: PA*PB =1/2*1/2 = 1/4 < 1..
quote:
Originally posted by Thomas
Ecco un esercizio che spero avrà più successo...
Trovare tutti gli interi positivi n tale che la rappresentazione di n! (=1*2*3*...*n) in base 2001 consiste solo di 0 ed 1...
un numero (in base 10) per essere rappresentato in base p con solo le cifre 1 e 0 deve essere così composto
A0*p^0 + A1*p^1 + A2*p^2... con An sempre 0 o 1
dunque nel nostro caso avremo
A0*2001^0 + A1*2001^1 + A2*2001^2... sempre con AN 0 o 1
ad esempio 1, 2001, 2002, 2001^2, 2001^2 + 1, 2001^2 + 2002 eccetera risponderanno a questo criterio.
al momento non ho però idea di come trovare numeri di questo tipo che siano fattoriali di n.
è assai probabile che sia più conveniente partire con un approccio diverso.
No Scusa Thomas!!! Avevo fatto un banale errore nel disegno!!!! Ho detto una cavolata...SORRY!!! 
)
)
nessuno è in grado di andare avanti con il primo esercizio postato?
Beh..io nn so la soluzione e provo a dire quello che ho immaginato. Anch'io parto come tè, wedge..Poi:
2001=3*23*29. Ora, se 3 divide il tutto, nn deve esistere 2001^0, altrimenti il numero nn risulterebbe divisibile per 3. Supponiamo, dopo avere visto i casi banali, che il tutto sia multiplo di 2001^k (k è il minimo esponente che compare), che raccogliamo. troviamo quindi un prodotto, di 2001^k per un numero nn divisibile per nessun fattore di 2001 (essendo =1+(fattori multipli di 2001). Ma quindi 3 divide quel numero solo 3^k volte. Purtroppo ( 2001^k*(---) )! credo contenga molti più fattori 3 e da qui l'assurdo.
Giudicate...sto copiando solo dalla bozza fatta giorni fà su un quadrenaccio...quindi errori probabili...
2001=3*23*29. Ora, se 3 divide il tutto, nn deve esistere 2001^0, altrimenti il numero nn risulterebbe divisibile per 3. Supponiamo, dopo avere visto i casi banali, che il tutto sia multiplo di 2001^k (k è il minimo esponente che compare), che raccogliamo. troviamo quindi un prodotto, di 2001^k per un numero nn divisibile per nessun fattore di 2001 (essendo =1+(fattori multipli di 2001). Ma quindi 3 divide quel numero solo 3^k volte. Purtroppo ( 2001^k*(---) )! credo contenga molti più fattori 3 e da qui l'assurdo.
Giudicate...sto copiando solo dalla bozza fatta giorni fà su un quadrenaccio...quindi errori probabili...
mi sembra che la tua osservazione sia molto acuta, Thomas.
siamo giunti alla momentanea conlcusione che l'ultima cifra in base 2001 deve essere necessariamente 0.
inotre si può notare che n deve essere necessariamente >= a 29, altrimenti il suo fattoriale non potrà avere come divisori 23 e 29.
siamo giunti alla momentanea conlcusione che l'ultima cifra in base 2001 deve essere necessariamente 0.
inotre si può notare che n deve essere necessariamente >= a 29, altrimenti il suo fattoriale non potrà avere come divisori 23 e 29.
Si, ma cosa ne pensi della fine del ragionamento? Lo riscrivo chiaramente, così è più facile da correggere, nel caso:
quindi il numero è della forma:
n! = 2001^(k1) + 2001^(k2) + 2001^(k3)+...
con k1
raccogliendo
n! =2001^k1*(1 + 2001^(k2-k1)+ 2001(k3-k1)+...) )
da quà si deduce che solo 3^k divide n! (il secondo termine non è divisibile per 3).. Ma n è sicuramente maggiore di 3k e quindi contiene un numero di fattori 3 che il secondo membro non è in grado di dare (infatti ogni multiplo di 3 minore di n fornisce almeno un fattore 3 nel primo membro). Quindi, a parte il caso banale n=1 nn esistono altri n che soddisfino la condizione....
quindi il numero è della forma:
n! = 2001^(k1) + 2001^(k2) + 2001^(k3)+...
con k1
raccogliendo
n! =2001^k1*(1 + 2001^(k2-k1)+ 2001(k3-k1)+...) )
da quà si deduce che solo 3^k divide n! (il secondo termine non è divisibile per 3).. Ma n è sicuramente maggiore di 3k e quindi contiene un numero di fattori 3 che il secondo membro non è in grado di dare (infatti ogni multiplo di 3 minore di n fornisce almeno un fattore 3 nel primo membro). Quindi, a parte il caso banale n=1 nn esistono altri n che soddisfino la condizione....
ora la spiegazione è più chiara. credo tu abbia colto nel segno.
scusate, arrivo tardi, a gioco forse concluso.
una domanda:
un numero come 11 101 1 0,
cioè 11*2001^3 + 101*2001^2 + 1*2001^1 + 0*2001^0
rientrerebbe nella specifica del problema?
tony
una domanda:
un numero come 11 101 1 0,
cioè 11*2001^3 + 101*2001^2 + 1*2001^1 + 0*2001^0
rientrerebbe nella specifica del problema?
quote:
("la rappresentazione di n! (=1*2*3*...*n) in base 2001 consiste solo di 0 ed 1)
tony
[quote
un numero come 11 101 1 0,
cioè 11*2001^3 + 101*2001^2 + 1*2001^1 + 0*2001^0
rientrerebbe nella specifica del problema?
[/quote]
io credo di no, perchè 11 in base 2001 sarebbe scritto con un segno specifico...
un numero come 11 101 1 0,
cioè 11*2001^3 + 101*2001^2 + 1*2001^1 + 0*2001^0
rientrerebbe nella specifica del problema?
[/quote]
io credo di no, perchè 11 in base 2001 sarebbe scritto con un segno specifico...
La risposta di wedge mi pare appropriata, Tony. E così io ho considerato il problema. Nulla però ti vieta di cambiarlo, se ne hai voglia (anche se ci terrei più che altro che qualcuno trovasse una soluzione sintetica al secondo problema che ho postato)...
Magari basta solo qualche modifica alla soluzione data da mè al primo problema (che, per ora, rimane inconfutata, e quindi corretta fino a prova contraria
...[si può provare a scomporre e, osservato che 10^n =1 mod 3, lavorare di precisione mod 3].Ora però nn ho voglia di verificare: è stata una giornata pesante. Meno male che dopo sabato ci sono 3 giorni di pausa...
Tony e Wedge, siete interessati a problemini di questo tipo (livello che può variare naturalmente)? Se si ditemelo, che provvedo a postarne...Naturalmente la domanda è rivolta a TUTTI!
Magari basta solo qualche modifica alla soluzione data da mè al primo problema (che, per ora, rimane inconfutata, e quindi corretta fino a prova contraria
...[si può provare a scomporre e, osservato che 10^n =1 mod 3, lavorare di precisione mod 3].Ora però nn ho voglia di verificare: è stata una giornata pesante. Meno male che dopo sabato ci sono 3 giorni di pausa...Tony e Wedge, siete interessati a problemini di questo tipo (livello che può variare naturalmente)? Se si ditemelo, che provvedo a postarne...Naturalmente la domanda è rivolta a TUTTI!
"Thomas":
)
Dato un quadrato di lato unitario ABCD ed un punto P del piano dimostrare che vale PA*PB+PC*PD >= 1.
Il mio schizzo di soluzione (probabilmente errato)sfrutta le derivate e quindi, anche nel remoto caso che sia corretto, lo ritengo una m***a: datemi voi una mano!
Ponendo un sistema cartesiano con origine nel centro del quadrato e assi paralleli ai suoi lati, detta x l'ascissa di P e y la sua ordinata, applicando il vecchio caro teorema di pitagora avremo che la formula indicata è esprimibile come
$sqrt((1/2+x)^2+(1/2+y)^2)*sqrt((1/2-x)^2+(1/2+y)^2)+sqrt((1/2-x)^2+(1/2-y)^2)*sqrt((1/2+x)^2+(1/2-y)^2)$
Senza dover andare a fare conti, a questo punto basta osservare che si tratta di una funzione continua, derivabile, simmetrica rispetto ad entrambi gli assi, e dunque anche rispetto le diagonali, conseguentemente si ha un valore estremo quando P coincide con il centro del quadrato e ho PA=PB=PC=PD= $sqrt2 /2$ e conseguentemente PA*PB+PC*PD = 1
Qualunque spostamento di P rispetto tale posizione determina un aumento del risultato quindi si tratta di un minimo.
Esprimendo l'andamento della funzione sugli assi e sulle diagonali, si ricavano parabole, il che conferma che tale minimo è unico.
Potrebbe essere interessante verificare che succede considerando invece la funzione PA*PC+PB+PD (moltiplico le distanze da vertici non adiacenti, ma opposti).
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