Aritmetica

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che n ed n^5 (n numero intero)
hanno la medesima cifra delle unita'.
karl.

[alice41]

Immagino che tu stia cercando (o abbia già in mente) una "bella dimostrazione", non una semplice constatazione del fatto che, a parte i numeri che terminano per 0, 1, 5, 6 (le cui potenze finiscono tutte con le stesse cifre) le potenze degli altri numeri, dalla prima in poi, terminano nell'ordine con le cifre:
2 - 4 - 8 - 6 - 2 ...
3 - 9 - 7 - 1 - 3 ...
4 - 6 - 4 - 6 - 4 ...
7 - 9 - 3 - 1 - 7 ...
8 - 4 - 2 - 6 - 8 ...
9 - 1 - 9 - 1 - 9 ...

Proverò a pensare a qualcosa di meglio.
Ciao

[Thomas16]

Rispondo così anche karl lo farà in miei futuri post...vero? . No cmq la mia è solo un commento a quella di alice.

La tua sol mi sembra perfetta. L'idea è quella. Poi si può formalizzare meglio certo e per questo potresti usare il cosidetto piccolo teorema di fermat (fai una ricerca su internet).

Altrimenti si veda che la tesi equivale a dire che f(n)=n^5-n è un multiplo di 10. Scomponendo si trova f(n)= n(n^2+1)(n+1)(n-1). Questo numero è sempre multiplo di 2 (uno tra n ed n-1 è pari) ed anche di 5, cosa che è semplice verificare con la teoria delle congruenze, oppure si distinguono i casi:
n=5k n è multiplo di 5
n=5k+1 n-1 è multiplo di 5
n=5k+2 n^2+1 è multiplo di 5
n=5k+3 n^2+1 è multiplo di 5
n=5k+4 n+1 è multiplo di 5
Verificate che ogni n naturale è di quella forma.

bye bye

[alice41]

Grazie, Thomas.
Chiarissimo.

Ciao

[Sk_Anonymous]

Posto n=10a+b con 0<=b<=9,si ha:
n^5=(10a+b)^5.
Sviluppando i calcoli con il binomio di Newton,alla
fine si vede che si puo' scrivere:
n^5=10X+b^5 ,essendo X una certa espressione in a e b.
Quindi la cifra delle unita' di n^5 e' uguale a quella
di b^5 e poiche' b puo' variare da 0 a 9,con un numero
ristretto di prove (precisamente 10),si verifica l'assunto.
karl.