Aree tra cerchi

[axpgn]

La prima area da trovare è questa:

Determinare, in funzione del raggio, l'area racchiusa tra tre cerchi congruenti e mutuamente tangenti.

L'area del triangolo curvilineo $GHI$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

$(sqrt(3)/4*(2r)^2)-((πr^2)/6*3)$

Dal triangolo equilatero vado a sottrarre i tre spicchi dei tre cerchi. Quello che rimane è il triangolino curvilineo.

[axpgn]

Mi piaceva di più "triangolone equilaterone" però il disegno è molto carino
Ma potevi semplificare un po' … trovo "più bello" scriverla così $(sqrt(3)-pi/2)r^2$

La seconda è questa:
Partendo dalla stessa situazione aggiungiamo un piccolo cerchio all'interno del triangolo curvilineo in modo che sia tangente a tutti e tre i cerchi più grandi.
Si tratta di determinare, sempre in funzione del raggio dei cerchi grandi, l'area compresa tra il piccolo cerchio e i tre cerchi grandi ovvero i tre triangolini curvilinei che si sono venuti a formare.

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Non avevo semplificato per far capire da dove uscivano quei numerini...



$\bar{AB}$ è l'altezza del triangolo equilatero $= sqrt(3)/2*L$, dove $L=2r$, quindi $\bar{AB}= sqrt(3)/2*2r$.
L'origine $O$ del cerchietto è a $2/3$ di questa misura da $A$ (in quanto punto d'intersezione fra le tre altezze), quindi è a $2/3*sqrt(3)/2*2r$.
Il $raggio$ del cerchietto è la differenza tra il valore appena ottenuto e il raggio del cerchio più grande ($r$), cioè $2/3*sqrt(3)/2*2r-r$.
Con questo raggio calcoliamo l'area del cerchietto e la sottraiamo all'area del triangolo curvilineo trovata nel problema precedente.

[axpgn]

Ok però devi finire il lavoro

[mgrau]

Teorema di Cartesio?

[axpgn]

Quello certamente ma ...

Come mostrato da Drazen77, bastano semplici considerazioni geometriche.
Solo che lui non vuole darmi la soddisfazione di completare la risoluzione fornendomi una "formuletta" finale

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Ho fatto il ragionamento e ho buttato giù le formulette.
Lascio fare i calcoli a chi ne è capace.

[axpgn]

Vabbè, questa la concludo io

Il raggio del cerchio piccolo è $r_1=(2sqrt(3)-3)/3r$

L'area del cerchio piccolo è $A_1=pir_1^2=pi[(2sqrt(3)-3)/3r]^2=(7-4sqrt(3))/3pir^2$

L'area cercata è quindi $A_2=A-A_1=(sqrt(3)-pi/2)r^2-(7-4sqrt(3))/3pir^2=((8sqrt(3)-17)/6pi+sqrt(3))r^2$

Infine, l'ultima area da trovare è la seguente:

All'interno dei tre triangolini curvilinei, inseriamo tre cerchi ancor più piccoli e tangenti agli altri cerchi.
Trovare, sempre in funzione del raggio dei cerchi grandi, l'area racchiusa tra questi sette cerchi.

Dato che usare il teorema di Cartesio/Apollonio, probabilmente, è la via più facile, l'uso di questo teorema lo escludiamo .

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Non trovo il raggino dei cerchiettini...

[axpgn]

Ecco una strada …

Al fine di trovare $r_2$ consideriamo i triangoli rettangoli $ADM_1$ e $ADM_2$
Sappiamo che $DM_1=sqrt(3)/3r$, $AM_1=r+r_1$, $AM_2=r+r_2$, $M_1M_2=r_1+r_2$.
Perciò $DM_2=sqrt(AM_2^2-AD^2)=sqrt((r+r_2)^2-r^2)=sqrt(r_2(2r+r_2))$
Dato che $DM_1=DM_2+M_1M_2$ allora $sqrt(3)/3r=sqrt(r_2(2r+r_2))+(2/sqrt(3)-1)r+r_2$
Manipolando un po' l'espressione otteniamo $(3-sqrt(3))/3r-r_2=sqrt(r_2(2r+r_2))$
"Quadriamo" $(3-sqrt(3))^2/9r^2+r_2^2-2(3-sqrt(3))/3rr_2=2rr_2+r_2^2$, aggiungiamo da entrambe le parti $-r_2^2+(2(3-sqrt(3)))/3rr_2$ e moltiplichiamo per $9$, giungiamo a $(3-sqrt(3))^2r^2=18rr_2+6(3-sqrt(3))rr_2$
Dividiamo per $r$ e lavorandoci un po' sopra, infine arriviamo a $r_2=(9-4sqrt(3))/33r$

Cordialmente, Alex