Anello polinomiale e ideali

[TomSawyer1]

Provare che se $I \ne {0}$ e' un ideale dell'anello polinomiale $F[x]$, dove $F$ e' un campo, allora esiste un unico polinomio monico $d(x) \in I$, tale che $I$ consiste di tutti i multipli di $d(x)$, cioe' $I={q(x)d(x):q(x)\in F[x]}$.

[ficus2002]

"Crook":Provare che se $I \ne {0}$ e' un ideale dell'anello polinomiale $F[x]$, dove $F$ e' un campo, allora esiste un unico polinomio monico $d(x) \in I$, tale che $I$ consiste di tutti i multipli di $d(x)$, cioe' $I={q(x)d(x):q(x)\in F[x]}$.

Sia $d$ un polinomio monico di $I$ di grado minimo e sia $f\in I$. Per il Teorema del quoziente e resto esistono due polinomi $q,r\in F[x]$ con $r=0$ o $\deg r< \deg d$ tali che $f=qd+r$. Poichè $r=f-qd\in I$, per la minimalità del grado di $d$, è necessariamente $r=0$. Di conseguenza, $d|f$. Così $I\subseteq {qd:q\in F[x]}$. L'altra inclusione è conseguenza del fatto che $qd\in I$ per ogni $q\in F[x]$.
Se esistesse un altro $d'\in I$ con le stesse proprietà di $d$, allora si avrebbe $d|d'$ e $d'|d$ ossia $d$ e $d'$ sono associati in $F[x]$. Poichè $d$ e $d'$ sono stati scelti monici, è $d=d'$.

[TomSawyer1]

Ok, identica alla mia. E' la tipica dimostrazione per gli interi($H=d\ZZ$), estesa ai polinomi.