Andando per numeri interi
Risolvere in N (giustificando i risultati) l'equazione:
$1/2(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)^3=1-xyz$
karl
$1/2(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)^3=1-xyz$
karl
Risposte
La relazione che dobbiamo risolvere in numeri
interi non negativi, se capisco bene, è questa:
½(x+y)(x+z)(y+z)+(x+y+z)³+xyz = 1.
Suppongo di sì.
Vedo subito che dev'essere x+y+z = 1.
Infatti, non può essere x+y+z = 0 perché in
tal caso tutte le variabili dovrebbero essere
nulle. Inoltre, non può essere x+y+z > 1
perché così avremmo il membro sinistro
maggiore di 1, essendo già (x+y+z)³ > 1.
Devo avere, allora:
x+y+z = 1
xyz = 0
e, tenendo conto della prima:
(1-x)(1-y)(1-z) = 0.
La seconda uguaglianza mi dice che almeno
una variabile dev'essere nulla. La terza mi dice,
invece, che almeno una variabile dev'essere
unitaria. Ma la prima relazione impone che la
variabile unitaria sia soltanto una, quindi le altre
due devono essere nulle. Il tutto, a scelta (limitata).
Salvo sviste o fraintendimenti, ovviamente...
(Riguardando il titolo, se è così si cammina poco!)
Buon fine settimana a tutti
interi non negativi, se capisco bene, è questa:
½(x+y)(x+z)(y+z)+(x+y+z)³+xyz = 1.
Suppongo di sì.
Vedo subito che dev'essere x+y+z = 1.
Infatti, non può essere x+y+z = 0 perché in
tal caso tutte le variabili dovrebbero essere
nulle. Inoltre, non può essere x+y+z > 1
perché così avremmo il membro sinistro
maggiore di 1, essendo già (x+y+z)³ > 1.
Devo avere, allora:
x+y+z = 1
xyz = 0
e, tenendo conto della prima:
(1-x)(1-y)(1-z) = 0.
La seconda uguaglianza mi dice che almeno
una variabile dev'essere nulla. La terza mi dice,
invece, che almeno una variabile dev'essere
unitaria. Ma la prima relazione impone che la
variabile unitaria sia soltanto una, quindi le altre
due devono essere nulle. Il tutto, a scelta (limitata).
Salvo sviste o fraintendimenti, ovviamente...
(Riguardando il titolo, se è così si cammina poco!)
Buon fine settimana a tutti
D'accordo con Bruno
Ma karl, ti intendevi soluzioni in numeri naturali? Io stavo ragionando in numeri interi, visto che il tuo post s'intitola "andando per numeri interi" e il caso dei naturali mi sembrava troppo ristretto.
Ma karl, ti intendevi soluzioni in numeri naturali? Io stavo ragionando in numeri interi, visto che il tuo post s'intitola "andando per numeri interi" e il caso dei naturali mi sembrava troppo ristretto.
Il ragionamente di Bruno ovviamento non fa una grinza.
A dire il vero il mio intendimento iniziale era proprio
quello indicato dal post ( non dal titolo) ma voi mi avete dato l'idea:
proviamo a risolvere la cosa in Z.
Da parte mia ,almeno in questo momento, non mi viene
niente in mente ma a voi sicuramente si.
Aspetto buone nuove.
karl
A dire il vero il mio intendimento iniziale era proprio
quello indicato dal post ( non dal titolo) ma voi mi avete dato l'idea:
proviamo a risolvere la cosa in Z.
Da parte mia ,almeno in questo momento, non mi viene
niente in mente ma a voi sicuramente si.
Aspetto buone nuove.
karl
Eh, eh Karl, in $Z$ il problema è molto più difficile, non c'è paragone con il caso di $N$. Ovviamente $x,y,z$ non possono essere tutte negative. Ma le soluzioni, per quanto mi riguarda, potrebbero essere una, nessuna, centomila o infinite! Si potrebbe ragionevolmente cercare di vedere se esiste una soluzione con una componente negativa. In ogni caso l'equazione è "simmetrica": una qualunque permutazione di una soluzione è soluzione. E infatti quelle di Bruno: $(0,0,1), (1,0,0),(0,1,0)$.
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