Ancora sul ponte

[WonderP1]

Ho visto che l'altro post mi da sempre errore (forse era stufo di sentirmi) così riposto le ultime cose, mi scuso se le leggete doppie:

Alcune considerazioni quando si hanno 4 persone:
Quando è migliore un sistema rispetto all’altro?
Per generalizzare chiamo A il tempo impiegato dalla prima persona, B il tempo della seconda, C della quarta e D della quinta, tenendo presente che A= il sistema “ritorno 1” è quindi
A+B -A A+C -A A+D
Mentre il sistema “andata ottimale” è
A+B -A C+D -B A+B
Il parametro D non discrimina la scelta, si può vedere infatti che il tempo totale aumenta all’aumentare di D per entrambi i sistemi della stessa quantità.
I tempi che discriminano sono A, B e C. Togliendo (solo per i conti) l’andata in cui compare D i due sistemi diventano:
“ritorno 1”
A+B -A A+C -A per un totale di tempo di 2A+B+C

“andata ottimale”
A+B -A -B A+B per un totale di tempo di A+3B

Quindi se 2A+B+C< A+3B cioè A+C<2B allora la soluzione si ha con il sistema “ritorno 1”; in caso di uguaglianza i sistemi sono equivalenti.

Ora si dovrebbe provare con 5 e 6 persone e vedere se si trova una qualche analogia, così da trovare la soluzione senza tentativi dati tot tempi, la vedo ardua!

WonderP.

P.S. avevi scritto:

citazione:

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se invece non vale l'ipotesi precedente (ad es. 1,2,3,4) le soluzioni si impasticciano di combinazioni doppie, e mi è difficile cavarne una coerenza.

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Puoi notare che A+C=2B (1+3=2*2) quindi hai tante soluzioni in quanto i due sistemi sono equivalenti, ed in più ci sono le permutazioni di queste.





Modificato da - WonderP il 09/10/2003 18:57:23

[WonderP1]

Siccome sono masochista ha provato anche con 5 persone. Tutto sembra in apparenza più difficile, e la spiegazione è formalmente impegnativa, ma la soluzione sarà decisamente banale. Provo a spiegare il tutto.
Con 5 persone compare anche E, ma come nel caso di 4 persone non è discriminante. Ricordo che A= Ho studiato 3 sistemi, i soliti “ritorno 1” e “andata ottimale” (che vede D ed E assieme in un’andata) ed un altro sistema con C ed D associati in un andata, quest’ultimo sistema però non darà mai la soluzione (l’ho dimostrato ma mi risulta difficile metterla per iscritto).
Procediamo come prima, il sistema “ritorno 1” è
A+B -A A+C -A A+D -A A+E;

Mentre il sistema “andata ottimale” è
A+B -A D+E -B A+C -A A+B;

Provando a conteggiare il tempo totale risulta
“ritorno 1” = 3A+B+C+D+E
“andata ottimale” = 2A+3B+C +E

quindi “ritorno 1” è la soluzione quando 3A+B+C+D+E<2A+3B+C +E cioè A+D<2B, non vi sembra vagamente familiare?

WonderP.

[WonderP1]

Esageriamo, anche con 6 persone! Non spiego il procedimento perché è sempre quello, scrivo solo qual è “andata ottimale”
A+B -A C+D -B A+B -A E+F -B A+B; (come quello provato nel caso 1 2 5 10 20 40)
“ritorno 1” è la soluzione se 2A+C+E<4B

Faccio notare un’ultima cosa (poi la smetto di rompere co’ ‘sto problema): in tutti e tre i casi analizzati (4, 5 e 6 persone) si ha che “ritorno 1” è la soluzione se
nA+… (n tempi) … <2nB
e gli n tempi sono i tempi di quelle persone che nel sistema “andata ottimale” attraversano il ponte una sola volta e con qualcuno più lento di loro (senza contare A e B), cioè il loro tempo (per questo sistema) è ininfluente:

4 persone C+D assieme: “ritorno 1” è la soluzione se A+C<2B
5 persone D+E assieme: “ritorno 1” è la soluzione se A+D<2B
6 persone C+D … E+F assieme: “ritorno 1” è la soluzione se 2A+C+E<4B

potrebbe essere la formula generale?

WonderP.