Ancora spazio C[0,1]
Si consideri lo spazio C[0,1] con la norma del massimo .
Verificare se è chiuso in tale spazio l'insieme costituito dalle funzioni $f(x) $ :
a) $f(x) $ è un polinomio di grado $<=2 $ .
b) $f(x) $ è un polinomio di grado esattamente 2.
c) $f(x) $ è un polinomio.
Verificare se è chiuso in tale spazio l'insieme costituito dalle funzioni $f(x) $ :
a) $f(x) $ è un polinomio di grado $<=2 $ .
b) $f(x) $ è un polinomio di grado esattamente 2.
c) $f(x) $ è un polinomio.
Risposte
Un suggerimento per l'esercizio c :
Considerare i polinomi di Taylor della funzione seno .
Considerare i polinomi di Taylor della funzione seno .
Nessuno ci prova ?
"camillo":
Nessuno ci prova ?
Vorrei anche provarci ma ignoro cosa significhi in questo caso "chiuso", cioè non ho capito cosa si deve verificare...
Provo a rispondere a Kroldar...
Essendo uno spazio normato, è metrico e a base numerabile. Quindi la chiusura topologica equivale alla chiusura per successioni.... per vedere se un insieme è chiuso potresti quindi prendere una successione di funzioni che converga con la distanza indotta dalla norma e dimostrare che il limite appartiene ancora all'insieme... (o che non appartiene se vuoi dimostrare che non è chiuso)....
Naturalmente rimane tutto da fare... ciao!
(per esempio per il punto c si potrebbe vedere cosa succede ad una successione di polinomi che converge al polinomio di Taylor della funzione seno, come dice Camillo)
Essendo uno spazio normato, è metrico e a base numerabile. Quindi la chiusura topologica equivale alla chiusura per successioni.... per vedere se un insieme è chiuso potresti quindi prendere una successione di funzioni che converga con la distanza indotta dalla norma e dimostrare che il limite appartiene ancora all'insieme... (o che non appartiene se vuoi dimostrare che non è chiuso)....
Naturalmente rimane tutto da fare... ciao!
(per esempio per il punto c si potrebbe vedere cosa succede ad una successione di polinomi che converge al polinomio di Taylor della funzione seno, come dice Camillo)
@ Kroldar : stavo giusto per risponderti, ma vedo che Thomas mi ha risparmiato la fatica 
.
Guarda anche l'altro esempio che avevo postato :
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=9957
che è risolto e spiegato .
.Guarda anche l'altro esempio che avevo postato :
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=9957
che è risolto e spiegato .
Per il primo punto, posto una traccia, dimmi se và bene, Camillo...
- la successione di polinomi converge alla funzione $u(x)$ sse $|| P_n - u || ->0$ per n che tende ad infinito;
- l'idea è, visto che il limite è unico (siamo in un T2), consideriamo il polinomio $P(x)=lim(a_n)x^2+lim(b_n)x+lim(c_n)$ ove i limiti sono fatti per n che tende ad infinito, $a_n, b_n, c_n$ sono i coefficienti del polinomio $P_n$. Questo polinomio verifica la condizione del punto precedente (c'è la verifica da fare), quindi $P(x)=u$ e lo spazio è chiuso;
- rimane solo da far vedere che quei limiti esistono. Per far questo si può utilizzare il risultato che in uno spazio metrico se una successione converge allora è di Cauchy, il che ci dice che "definitivamente" (intendo che esiste un n dipendente da $epsilon$ t.c. per ogni $i,j>n$,...insomma quella roba là ) $||P_i-P_j||=||(a_i-a_j)x^2+(b_i-b_j)x+(c_i-c_j)||
$|c_i-c_j|<(epsilon)$------- valutando in x=0
$|a_i-a_j|<(2sqrt(2))epsilon$------ considerano che il coefficiente a della parabola ne determina il comportamento
$|b_i-b_j|<(2sqrt(2)+1)epsilon$----- valutando in x=1 + le due stime precedenti
ma allora le successioni $(a_i),(b_i),(c_i)$ sono di cauchy e vista la completezza di R, convergono.
fine.... o no???
- la successione di polinomi converge alla funzione $u(x)$ sse $|| P_n - u || ->0$ per n che tende ad infinito;
- l'idea è, visto che il limite è unico (siamo in un T2), consideriamo il polinomio $P(x)=lim(a_n)x^2+lim(b_n)x+lim(c_n)$ ove i limiti sono fatti per n che tende ad infinito, $a_n, b_n, c_n$ sono i coefficienti del polinomio $P_n$. Questo polinomio verifica la condizione del punto precedente (c'è la verifica da fare), quindi $P(x)=u$ e lo spazio è chiuso;
- rimane solo da far vedere che quei limiti esistono. Per far questo si può utilizzare il risultato che in uno spazio metrico se una successione converge allora è di Cauchy, il che ci dice che "definitivamente" (intendo che esiste un n dipendente da $epsilon$ t.c. per ogni $i,j>n$,...insomma quella roba là
) $||P_i-P_j||=||(a_i-a_j)x^2+(b_i-b_j)x+(c_i-c_j)||$|c_i-c_j|<(epsilon)$------- valutando in x=0
$|a_i-a_j|<(2sqrt(2))epsilon$------ considerano che il coefficiente a della parabola ne determina il comportamento
$|b_i-b_j|<(2sqrt(2)+1)epsilon$----- valutando in x=1 + le due stime precedenti
ma allora le successioni $(a_i),(b_i),(c_i)$ sono di cauchy e vista la completezza di R, convergono.
fine.... o no???
Come si nota dal post precedente, io mi aspetto le risposte:
a)si
b)no
c)no
e forse questo aspettarmi delle simili risposte può aver tratto in inganno
a)si
b)no
c)no
e forse questo aspettarmi delle simili risposte può aver tratto in inganno
"Thomas":
Come si nota dal post precedente, io mi aspetto le risposte:
a)si
b)no
c)no
e forse questo aspettarmi delle simili risposte può aver tratto in inganno
Le risposte sono corrette !
"camillo":
[quote="Thomas"]Come si nota dal post precedente, io mi aspetto le risposte:
a)si
b)no
c)no
e forse questo aspettarmi delle simili risposte può aver tratto in inganno
Le risposte sono corrette ![/quote]
è già qualcosa... deduco che il resto sia ancora sotto giudizio......... beh...... aspetterò! ciao!!
Non mi è chiaro come Thomas abbia trovato quelle stime, a parte la prima ovvia; per me più semplicemente si può operare così:
$P_n=a_nx^2+b_nx+c_n$ è convergente ad $u$ in norma $infty$, e dunque puntualmente ovunque. Allora $c_n=P_n(0) -> u(0)$; poi $a_n+b_n+c_n -> u(1)$ e $1/4 a_n+1/2b_n+c_n -> u(1/2)$. Con un po' di algebra dei limiti è allora immediato vedere che $a_n$ e $b_n$ convergono, e dunque $u$ è un polinomio di grado $\leq 2$.
$P_n=a_nx^2+b_nx+c_n$ è convergente ad $u$ in norma $infty$, e dunque puntualmente ovunque. Allora $c_n=P_n(0) -> u(0)$; poi $a_n+b_n+c_n -> u(1)$ e $1/4 a_n+1/2b_n+c_n -> u(1/2)$. Con un po' di algebra dei limiti è allora immediato vedere che $a_n$ e $b_n$ convergono, e dunque $u$ è un polinomio di grado $\leq 2$.
Ottimo Luca! ... di certo il tuo procedimento è più semplice... ma vorrei capire se il mio è giusto o no (per imparare!), proprio come procedimento, non mi interessa la correttezza delle stime... (aspetto per l'appunto qualcuno che lo smentisca o conferma).. Cmq:
-bè la prima stima è ovvia (lo dici anche tu!) (calcolo in 0)
-la seconda in pratica dice che se la parabola è troppo stretta (a troppo grande) non può rimanere in una striscia di altezza $2epsilon$ e lunghezza 1;
- la terza dice che se vale $|(a_i-a_j)+(b_i-b_j)+(c_i-c_j)|<\epsilon$ (valutando in x=1), $|b_i-b_j|$ non può essere troppo grande visto che $|c_i-c_j|$ e $|b_i-b_j|$ sono per i primi due punti limitati;
poi ci sono un pò di calcoli da fare... ma non ho tempo di scriverli....
ps: cmq il tuo procedimento più o meno è come il mio, nella prima parte... Nel senso, devi comunque verificare a mano che il polinomio limite sia la funzione alla quale stanno convergendo i polinomi, no???
... di certo il tuo procedimento è più semplice... ma vorrei capire se il mio è giusto o no (per imparare!), proprio come procedimento, non mi interessa la correttezza delle stime... (aspetto per l'appunto qualcuno che lo smentisca o conferma).. Cmq:-bè la prima stima è ovvia (lo dici anche tu!) (calcolo in 0)
-la seconda in pratica dice che se la parabola è troppo stretta (a troppo grande) non può rimanere in una striscia di altezza $2epsilon$ e lunghezza 1;
- la terza dice che se vale $|(a_i-a_j)+(b_i-b_j)+(c_i-c_j)|<\epsilon$ (valutando in x=1), $|b_i-b_j|$ non può essere troppo grande visto che $|c_i-c_j|$ e $|b_i-b_j|$ sono per i primi due punti limitati;
poi ci sono un pò di calcoli da fare... ma non ho tempo di scriverli....
ps: cmq il tuo procedimento più o meno è come il mio, nella prima parte... Nel senso, devi comunque verificare a mano che il polinomio limite sia la funzione alla quale stanno convergendo i polinomi, no???
Certo, il punto è quello, ma non capisco bene come hai ottenuto la seconda stima, quindi non ti so dire se è corretta o no.
beh mi interessava di più il resto a dire il vero.... (la parte sulle successioni di cauchy et similia)... visto che non dici nulla, deduco che sia corretta!!
Per quanto riguarda la stima, diciamo così... a meno di traslazioni ho supposto la parabola centrata nell'origine, ovvero del tipo $y=ax^2$, con la $a$ che dovrebbe essere costante per traslazioni... Poi là ho posizionato la striscia di altezza $2 epsilon$ e larghezzza 1 nel modo "migliore" perchè ci stesse contenuta la parabola in un intervallo di largezza 1 (invece di fissare l'origine per la strisci, l'ho fissata per la parabola insomma).. e questo "modo migliore" sarebbe con il vertice nel mezzo del segmento inferiore di questa striscia... Non sempre però si riesce ad inserire la striscia se la parabola è troppo chiuso (a troppo grande o troppo piccolo)... il caso limite dà la condizione....
cmq non pensarci troppo su questo calcolo, Luca ( non pretendo che si capisca qualcosa dalle righe sopra, scritte malissimo!
)... nemmeno io a dire il vero mi ci sono messo a farlo rigorosamente, ma sono andato un pò "ad occhio"...
ciao ciao
Per quanto riguarda la stima, diciamo così... a meno di traslazioni ho supposto la parabola centrata nell'origine, ovvero del tipo $y=ax^2$, con la $a$ che dovrebbe essere costante per traslazioni... Poi là ho posizionato la striscia di altezza $2 epsilon$ e larghezzza 1 nel modo "migliore" perchè ci stesse contenuta la parabola in un intervallo di largezza 1 (invece di fissare l'origine per la strisci, l'ho fissata per la parabola insomma).. e questo "modo migliore" sarebbe con il vertice nel mezzo del segmento inferiore di questa striscia... Non sempre però si riesce ad inserire la striscia se la parabola è troppo chiuso (a troppo grande o troppo piccolo)... il caso limite dà la condizione....
cmq non pensarci troppo su questo calcolo, Luca ( non pretendo che si capisca qualcosa dalle righe sopra, scritte malissimo!
)... nemmeno io a dire il vero mi ci sono messo a farlo rigorosamente, ma sono andato un pò "ad occhio"... ciao ciao
Ah ecco, comunque sì, se la stima 2) è corretta, allora la tua dimostrazione funziona.
Io mi sarei mosso così (che + o - si rifà al procedimento di Aris): dato che un generico polinomio di 2° grado è di ordine 3, posso scrivere un sistema del 3° ordine, ottenuto dal "campionamento" del polinomio in 3 punti dell'intervallo di definizione (ciò è lecito dal fatto che la convergenza uniforme implica quella puntuale). Se il sistema rimane determinato allora in effetti $(C[0,1],max)$ è chiuso, perchè le successioni dei coefficienti del polinomio sono combinazioni lineari di successioni sicuramente convergenti, dunque anch'esse saranno convergenti. Può funzionare?
Eh sì, ma il punto è che tu non sai se i coefficienti di $P_n$ sono successioni convergenti, anzi è proprio questo il punto della dimostrazione.
Ma per dimostrare la chiusura di questo spazio non basta osservare che tutte le successioni convergenti convergano in questo spazio? In tal caso basta supporre la convergenza delle 3 successioni campionate $P_(i,n); i=1,2,3$. Sbaglio?
Allora tu hai $P_n(x)=a_nx^2+b_nx+c_n$ successione di polinomi di grado $\leq 2$; l'unica cosa che sai è che $P_n$ converge uniformemente ad $u$ su $[0,1]$, e dunque sai che $max_([0,1])|P_n(x)-u(x)| -> 0$. Non è evidente dunque che $a_n,b_n$ e $c_n$ debbano convergere, va dimostrato, per esempio sfruttando la convergenza puntuale di $P_n$ si vede subito, valutando $P_n$ in $0,1,1/2$.
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