Altro paradosso... o forse no...
Consideriamo un solido $V$ geneato dalla rotazione di una superficie $A$ intorno all'asse $x$. Se sappiamo che $A$ ha superficie finita o infinita, che cosa siamo in grado di dire del volume di $V$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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lupo grigio
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Risposte
Io la vedo così: se la superficie è finita il volume dovrebbe essere finito mentre se è infinita del volume non possiamo dire nulla (Torricelli insegna 
)
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Sì... diciamo che ciò è molto vicino al vero...
Il fatto è che al primo anno di università mi è capitato di 'scoprire' un 'paradosso' che mi ha procurato un forte 'disagio' che ancora oggi non si è 'placato'...
Il paradosso consiste in questo: l'area delimitata dalla funzione $f(x)=1/x$, $1
$int_1^(+oo) (dx)/x$ (1)
... è divergente. Invece il volume del solido generato dalla rotazione della stessa superficie intorno all'asse $x$ è finito e vale...
$int_1^(+oo) pi/x^2*dx= pi$ (2)
Mah!...
cordiali saluti
lupo grigio
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Il fatto è che al primo anno di università mi è capitato di 'scoprire' un 'paradosso' che mi ha procurato un forte 'disagio' che ancora oggi non si è 'placato'...
Il paradosso consiste in questo: l'area delimitata dalla funzione $f(x)=1/x$, $1
$int_1^(+oo) (dx)/x$ (1)
... è divergente. Invece il volume del solido generato dalla rotazione della stessa superficie intorno all'asse $x$ è finito e vale...
$int_1^(+oo) pi/x^2*dx= pi$ (2)
Mah!...
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lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Secondo me volumi ed aree non sono tra loro confrontabili, sono cose diverse.
Un esempio: una volta nel forum qualcuno chiese se negli integrali doppi, nel caso in cui
gli estremi di integrazione del dominio non fossero compresi, bisognasse togliere al valore
dell'integrale doppio il valore dell'integrale di linea lungo i bordi del dominio.
E' ovvio che non è così, ma non poi TANTO ovvio. Diciamo che ci pensai per qualche secondo,
per questo capisco la perplessità di lupo grigio. E' come chiedere quanto valga l'area del quadrato,
di lato $1$ escludendo i lati. Il risultato "balzano" sarebbe $1-4=-3$!
Un esempio: una volta nel forum qualcuno chiese se negli integrali doppi, nel caso in cui
gli estremi di integrazione del dominio non fossero compresi, bisognasse togliere al valore
dell'integrale doppio il valore dell'integrale di linea lungo i bordi del dominio.
E' ovvio che non è così, ma non poi TANTO ovvio. Diciamo che ci pensai per qualche secondo,
per questo capisco la perplessità di lupo grigio. E' come chiedere quanto valga l'area del quadrato,
di lato $1$ escludendo i lati. Il risultato "balzano" sarebbe $1-4=-3$!
Per un solido di rivoluzione vale il teorema di Guldino (alcuni lo chiamano di Pappo).
Per un'area che si estende all'infinito è possibile che la distanza del baricentro dall'asse di rotazione tenda a zero.
Se l'ordine di infinitesimo della distanza è uguale a quello di infinito dell'area il volume risulterà finito.
Per un'area che si estende all'infinito è possibile che la distanza del baricentro dall'asse di rotazione tenda a zero.
Se l'ordine di infinitesimo della distanza è uguale a quello di infinito dell'area il volume risulterà finito.
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