Altra funzione partizione

[carlo232]

Sia $P_k(n)$ con $k<=n$ il numero di modi in cui si può ripartire $n$ in $k$ interi positivi.

Dimostrare che per ogni $n$ si ha

$(-1)^n=P_1(n)-P_2(n)+P_3(n)-...+-P_(n-1)(n)$

ad esempio

$1=P_1(2)$

$-1=P_1(3)-P_2(3)=1-2$

$1=P_1(4)-P_2(4)+P_3(4)=1-3+3$

$-1=P_1(5)-P_2(5)+P_3(5)-P_4(5)=1-4+6-4$

.....

Ciao!

PS dimenticavo, dimostrare il tutto senza ricorrere a formule esplicite per $P_k(n)$, che ne so con i coefficienti binomiali o simili...

[carlo232]

"carlo23":riordinando

Per completezza il riordinamento segue dall'identità combinatoria

$(x+x^2+x^3+...)^k=sum_(n=k)^infty P_k(n)x^n$

quest'ultima permette facilmente di trovare un espressione in termini di coefficienti binomiali per $P_k(n)$, in effetti sarebbe una rudimentale applicazione del metodo del cerchio...

Ciao!

[Sk_Anonymous]

Sono perplesso. E credo di non essere l'unico. Vabbè, non indaghiamo. Meglio l'onorevole dubbio che l'implacabile certezza...