Alcuni quadrati ...

[axpgn]

Trovare quattro numeri naturali positivi (eventualmente i più piccoli) tali che la loro somma sia un quadrato perfetto e lo sia anche la somma di qualsiasi coppia di essi.

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

$1, 8, 8, 8$ ?

[axpgn]

Ah, ah, ... no ...

Scusami se rido ma sto ripensando a quante volte ho riletto le due righe del testo per trovare errori od incongruenze dando per scontato che "trovare quattro numeri" sottintendesse "diversi" ...

È proprio vero quello che disse un grande creatore di quiz, che "per quanto uno faccia, l'imprevisto è sempre in agguato"; a tal proposito raccontò questo aneddoto: "Una volta proposi un quesito che doveva essere risolto "col minor numero di righe diritte ("straight" in inglese)". Dopo un poco una persona proclamò di averlo risolto "con una sola"; "impossibile" dissi io ma lui di rimando "Oh sì, una sola diritta, sono stato molto attento a tracciare le altre tutte storte".

Be, allora adesso trova i quattro numeri tutti "diversi" ...

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

Non sono sicuro che sia la più piccola, ma dovrebbe funzionare.

$2114, 10430, 3970, 386$

[axpgn]

Bravo!

Ti posso chiedere la strada che hai seguito?

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

Chiamiamo $a,b,c,d$ i numeri da trovare. Allora, $a+b+c+d=k^2$ è l'ipotenusa di tre triangoli rettangoli diversi (questo perché la somma di ogni coppia dei quattro numeri deve essere un quadrato perfetto). Essendo l'ipotenusa, puo` avere come fattori primi solo $2$ e i primi della forma $4n+1$ (con $n$ naturale) . Da qui si prova un po'. Vediamo che $k=2, 5, 13, 2 \cdot5, 2\cdot13, 5\cdot13$ non funzionano, pero` $k=2\cdot5\cdot13=130$, funziona. Infatti poi basta usare le formule per le terne pitagoriche per trovare i quadrati: $66^2, 112^2, 120^2, 32^2$. Poi si risolve un sistema di equazioni per trovare $a,b,c,d$.

[axpgn]

Grazie,

Cordialmente, Alex