Alcuni esercizi...
Questo problema si può fare il tanti modi; vediamo qual è la via più semplice.
Sia dato un angolo acuto e un punto $P$ interno ad esso. Condurre per $P$ una retta che stacchi sull'angolo un triangolo di area $a^2$. Dire per quali valori di $a$ il problema ammette soluzioni.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Si consideri l'equazione:
$x^5+a_(1)x^4+a_(2)x^3+a_(3)x^2+a_(4)x+a_(5)=0$
a coefficienti tutti interi.
Supponiamo che i coefficienti $a_(1), a_(2), a_(3), a_(4), a_(5)$ siano divisibili per un assegnato numero primo $p>1$ e che $a_(5)$ non sia divisibile per $p^2$. Dimostrare che l'equazione non ammette nessuna soluzione intera.
Come si può dimostrare senza ricorrere al criterio di Eisenstein?
Sia dato un angolo acuto e un punto $P$ interno ad esso. Condurre per $P$ una retta che stacchi sull'angolo un triangolo di area $a^2$. Dire per quali valori di $a$ il problema ammette soluzioni.
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Si consideri l'equazione:
$x^5+a_(1)x^4+a_(2)x^3+a_(3)x^2+a_(4)x+a_(5)=0$
a coefficienti tutti interi.
Supponiamo che i coefficienti $a_(1), a_(2), a_(3), a_(4), a_(5)$ siano divisibili per un assegnato numero primo $p>1$ e che $a_(5)$ non sia divisibile per $p^2$. Dimostrare che l'equazione non ammette nessuna soluzione intera.
Come si può dimostrare senza ricorrere al criterio di Eisenstein?
Risposte
Esercizio 2. Sia $x$ per assurdo una soluzione dell'equazione. L'equazione allora può essere scritta come $x^5+pb_1x^4+pb_2x^3+pb_3x^2+pb_4x+pb_5=0$. Dunque $x^5=-p(b_1x^4+b_2x^3+b_3x^2+b_4x+b_5)$. Dunque $x^5$ è divisibile per $p$. Ma, poiché $p$ è primo, anche $x$ è divisibile per $p$. Ma allora, poiché $-a_5=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x$ e tutti gli addendi sono divisibli per $p^2$, segue che $p^2$ divide $a_5$, falso per ipotesi.
Eh scusa ho sbagliato a scrivere, è $x^5$ non $x^2$
Non cambia niente, la soluzione rimane la stessa.
Ah scusa, quando ho visto che avevo sbagliato neanche l'ho letta la tua soluzione. Grazie.
Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un
quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato $1$ si ottiene sempre
un quadrato perfetto.
quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato $1$ si ottiene sempre
un quadrato perfetto.
"Giuseppe87x":
Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un
quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato $1$ si ottiene sempre
un quadrato perfetto.
Abbiamo, successivamente, che:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n²+3n+2)+1 = n(n+3)[n(n+3)+2]+1 =
e naturalmente non vale solo per i numeri interi e positivi .
Questa identità, d'altra parte, dimostra che, se fosse n(n+1)(n+2)(n+3) = p² ,
avremmo p²+1=q² (p e q interi) e ciò porterebbe a p=0, ossia dovremmo
considerare nullo (non positivo) uno dei quattro numeri.
"Bruno":
Abbiamo, successivamente, che:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n²+3n+2)+1 = n(n+3)[n(n+3)+2]+1 =
Non riesco a capire questa uguaglianza che hai scritto a cosa porta; non voglio dire che sia sbagliata, ma che io non la capisco; io l'ho calcolato così:
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2$
Il resto della dimostrazione va bene la tua.
"laura.todisco":
[quote="Bruno"]
Abbiamo, successivamente, che:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n²+3n+2)+1 = n(n+3)[n(n+3)+2]+1 =
Non riesco a capire questa uguaglianza che hai scritto a cosa porta; non voglio dire che sia sbagliata, ma che io non la capisco; io l'ho calcolato così:
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2$
Il resto della dimostrazione va bene la tua.[/quote]
...intendevo dire, Laura, che un'espressione di questo tipo m(m+2)+1 è
un quadrato e così ho messo un quadratino vero e proprio alla fine
Ciao!
Si Bruno, il significato del quadratino mi era chiaro, non capivo l'espressione, ma poi Karl ti ha tradotto 
Ma ora che ci ripenso.... aspetta, fammi concentrare 
OK, ci sono, ora ho capito
, grazie.
, grazie.
Aspetta un attimo... ma sai che adesso sta venendo un dubbio a me? 
A presto!
A presto!
No, no, è giusto!
"giuseppe87x":
Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto
e che aggiungendo al prodotto trovato $1$ si ottiene sempre un quadrato perfetto.
...è probabilmente meno immediato provare che neppure il prodotto
di cinque numeri interi positivi consecutivi può essere un quadrato.
In altre parole, se m ed n sono interi e positivi, abbiamo sempre:
n² < m·(m+1)·(m+2)·(m+3)·(m+4) < (n+1)² ,
essendo n la parte intera della radice quadrata di m·(m+1)·(m+2)·(m+3)·(m+4).
(Purtroppo, non posso visualizzare le formule e mi tocca dirla così...)
Ricordo di averlo dimostrato, però al momento ho dimenticato come.
Penso, in fondo, che il mio metodo fosse comunque meno interessante
di quello che potrebbe venire in mente voi.
Ciao, Bruno. Hai ragione, il prodotto di $5$ interi consecutivi non è mai un quadrato perfetto, l'ho appena dimostrato. Sarebbe però interessante confrontare la mia soluzione con un'altra, per vedere con che metodi risolvere problemi di questo tipo e vedere se c'è una soluzione elegante. Dunque, prima di postare la mia soluzione, aspetto un po' per vedere se qualcun altro (magari tu stesso) si fa avanti.
Ps: esiste un $k$ tale che il prodotto di $k$ interi consecutivi sia un quadrato perfetto?
Ps: esiste un $k$ tale che il prodotto di $k$ interi consecutivi sia un quadrato perfetto?
Allora, nessuno? Vi esorto a provare a risolvere il seguente problema, non richiede nessuna conoscenza di teoria dei numeri.
Il prodotto di $5$ interi consecutivi non è mai un quadrato perfetto.
Coraggio, vi divertirete, è un gioco da fare sotto l'ombrellone, un passatempo estivo... coi fiocchi!
Il prodotto di $5$ interi consecutivi non è mai un quadrato perfetto.
Coraggio, vi divertirete, è un gioco da fare sotto l'ombrellone, un passatempo estivo... coi fiocchi!
Sono riuscito a trovare gli appunti delle considerazioni che ho fatto
qualche tempo fa sul problema.
Purtroppo non riesco a pensare a qualcosa di diverso perché mi manca
il tempo, e poi anche perché al momento non ho idee.
Sicuramente l'ottimo Fields avrà in serbo qualcosa di migliore.
Vabbe', è giusto per provare... Spero però di non aver scritto troppe
sciocchezze (di cui mi scuso in anticipo).
Bene.
Il metodo che segue è una specie di 'sbriciolamento'.
Supponendo che sia (e qui utilizzo il simbolo per indicare un generico
quadrato intero, evitando così di ricorrere a troppe lettere):
n·[(n²-2)²-n²] =
con n>2 (n è il termine centrale del prodotto in questione e [(n²-2)²-n²] =
(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)), si possono fare due congetture:
A) I termini n e (n²-2)²-n² ammettono 2 come unico divisore comune.
In questo caso le rispettive metà devono essere dei quadrati perfetti,
essendo prime fra loro.
B) I termini n e (n²-2)²-n² sono primi fra loro o sono entrambi divisibili
per 4 = (il loro eventuale massimo comun divisore) e quindi ciascuno
di essi dev'essere un quadrato perfetto.
Ipotesi A
In tale caso si avrebbe, dovendo prendere n = 2·(2k+1) (con k>0):
[4·(2k+1)²-2]²-4·(2k+1)² = 2·
ossia (con pochi passaggi e tenendo conto che non è lo stesso):
½k(k+1)(4k+1)(4k+3) = .
Nell'ultima uguaglianza scritta si osserva che 4k+3= 4(k+1)-1 non può
essere primo con tutti gli altri fattori, in quanto ciò condurrebbe a
ritenerlo un quadrato, ma i quadrati dei numeri dispari seguono sempre
di un'unità un multiplo di 4.
Si vede anche che 4k+3 dev'essere primo con k+1 e 4k+1, per cui
rimane da considerare k, con cui può avere in comune solo il 3.
Si riconosce inoltre che 4k+1 dev'essere un quadrato perfetto.
Diversamente, infatti, potrebbe avere qualche fattore in comune
solo con k+1 e con esso dovrebbe soltanto condividere il 3.
In tal caso (4k+1)/3 dovrebbe essere un quadrato, cioè: 4k+1 = 3·.
Ma il triplo di un quadrato dispari precede sempre di un'unità un multiplo
di 4.
Si può allora introdurre questa ulteriore coppia di condizioni:
a) ½(k/3)(k+1) =
b) 4k/3+1 =
La b) ci dice che k dev'essere un multiplo di 3, quindi nella a) possiamo
ancora distinguere questi due casi (essendo k e k+1 primi fra loro):
a.1.1) k/3 = ,
a.1.2) ½(k+1) =
e
a.2.1) k/6 =
a.2.2) k+1 = .
Dalla a.1.1) si deduce che 4k/3+1 = +1, ma questo vuol dire
che - per la b) - le eventuali soluzioni dipendono dalla esprimibilità di 1
come differenza di due quadrati interi (1 = 1²-0²), ciò che naturalmente
porta a considerare unitario il termine 4k/3+1 e nullo k.
Dalla a.2.2) si deduce 4k+1+3 = , poiché però 4k+1 = (lo abbiamo
stabilito più sopra) e siccome 3 = 2²-1², si conclude che anche in questo
caso k = 0.
Dal momento che dev'essere k > 0, l'ipotesi A è pertanto falsa.
Ipotesi B
Rimane da considerare l'eventualità in cui n e (n²-2)²-n² siano primi
fra loro o il loro massimo comun divisore sia 4 = .
In questi casi dobbiamo avere:
(n²-2)²-n² =
ed n stesso dev'essere un quadrato perfetto.
Anche il discriminante dell'equazione:
(x-2)²-x =
dev'essere un quadrato, ossia:
9+4p² = q².
Poiché risulta 9 = 1·9 = 3·3, in due soli modi 9 può essere scritto come
differenza di due quadrati interi:
9 = 3²-0² = 5²-4²,
a cui corrispondono i seguenti valori di x: 0, 1, 4, 5 .
Ricordando che n > 2, si ha che x = n² dev'essere non minore di 9
(senz'altro è più grande, visto che n stesso è un quadrato), quindi
nessuno dei precedenti valori, in realtà, va bene.
L'ipotesi B, dunque, è falsa.
Lo scopo delle due ipotesi appena considerate (nel mio intento) era
proprio quello di giustificare la quadratura del prodotto non nullo
di cinque numeri interi consecutivi.
Se siete arrivati fino a qui, solo per questo siete stati portentosi
A presto.
qualche tempo fa sul problema.
Purtroppo non riesco a pensare a qualcosa di diverso perché mi manca
il tempo, e poi anche perché al momento non ho idee.
Sicuramente l'ottimo Fields avrà in serbo qualcosa di migliore.
Vabbe', è giusto per provare... Spero però di non aver scritto troppe
sciocchezze (di cui mi scuso in anticipo).
Bene.
Il metodo che segue è una specie di 'sbriciolamento'.
Supponendo che sia (e qui utilizzo il simbolo per indicare un generico
quadrato intero, evitando così di ricorrere a troppe lettere):
n·[(n²-2)²-n²] =
con n>2 (n è il termine centrale del prodotto in questione e [(n²-2)²-n²] =
(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)), si possono fare due congetture:
A) I termini n e (n²-2)²-n² ammettono 2 come unico divisore comune.
In questo caso le rispettive metà devono essere dei quadrati perfetti,
essendo prime fra loro.
B) I termini n e (n²-2)²-n² sono primi fra loro o sono entrambi divisibili
per 4 = (il loro eventuale massimo comun divisore) e quindi ciascuno
di essi dev'essere un quadrato perfetto.
Ipotesi A
In tale caso si avrebbe, dovendo prendere n = 2·(2k+1) (con k>0):
[4·(2k+1)²-2]²-4·(2k+1)² = 2·
ossia (con pochi passaggi e tenendo conto che non è lo stesso):
½k(k+1)(4k+1)(4k+3) = .
Nell'ultima uguaglianza scritta si osserva che 4k+3= 4(k+1)-1 non può
essere primo con tutti gli altri fattori, in quanto ciò condurrebbe a
ritenerlo un quadrato, ma i quadrati dei numeri dispari seguono sempre
di un'unità un multiplo di 4.
Si vede anche che 4k+3 dev'essere primo con k+1 e 4k+1, per cui
rimane da considerare k, con cui può avere in comune solo il 3.
Si riconosce inoltre che 4k+1 dev'essere un quadrato perfetto.
Diversamente, infatti, potrebbe avere qualche fattore in comune
solo con k+1 e con esso dovrebbe soltanto condividere il 3.
In tal caso (4k+1)/3 dovrebbe essere un quadrato, cioè: 4k+1 = 3·.
Ma il triplo di un quadrato dispari precede sempre di un'unità un multiplo
di 4.
Si può allora introdurre questa ulteriore coppia di condizioni:
a) ½(k/3)(k+1) =
b) 4k/3+1 =
La b) ci dice che k dev'essere un multiplo di 3, quindi nella a) possiamo
ancora distinguere questi due casi (essendo k e k+1 primi fra loro):
a.1.1) k/3 = ,
a.1.2) ½(k+1) =
e
a.2.1) k/6 =
a.2.2) k+1 = .
Dalla a.1.1) si deduce che 4k/3+1 = +1, ma questo vuol dire
che - per la b) - le eventuali soluzioni dipendono dalla esprimibilità di 1
come differenza di due quadrati interi (1 = 1²-0²), ciò che naturalmente
porta a considerare unitario il termine 4k/3+1 e nullo k.
Dalla a.2.2) si deduce 4k+1+3 = , poiché però 4k+1 = (lo abbiamo
stabilito più sopra) e siccome 3 = 2²-1², si conclude che anche in questo
caso k = 0.
Dal momento che dev'essere k > 0, l'ipotesi A è pertanto falsa.
Ipotesi B
Rimane da considerare l'eventualità in cui n e (n²-2)²-n² siano primi
fra loro o il loro massimo comun divisore sia 4 = .
In questi casi dobbiamo avere:
(n²-2)²-n² =
ed n stesso dev'essere un quadrato perfetto.
Anche il discriminante dell'equazione:
(x-2)²-x =
dev'essere un quadrato, ossia:
9+4p² = q².
Poiché risulta 9 = 1·9 = 3·3, in due soli modi 9 può essere scritto come
differenza di due quadrati interi:
9 = 3²-0² = 5²-4²,
a cui corrispondono i seguenti valori di x: 0, 1, 4, 5 .
Ricordando che n > 2, si ha che x = n² dev'essere non minore di 9
(senz'altro è più grande, visto che n stesso è un quadrato), quindi
nessuno dei precedenti valori, in realtà, va bene.
L'ipotesi B, dunque, è falsa.
Lo scopo delle due ipotesi appena considerate (nel mio intento) era
proprio quello di giustificare la quadratura del prodotto non nullo
di cinque numeri interi consecutivi.
Se siete arrivati fino a qui, solo per questo siete stati portentosi
A presto.
Allora, Bruno, ci sono delle affermazioni false in quanto hai scritto.
Non è vero: prendi $n=6$. La metà di $(6^2-2)^2-6^2$ non è un quadrato perfetto. Siccome vedo che poi basi la tua prova su questa affermazione, non vado oltre a leggerla.
"Bruno":
A) I termini n e (n²-2)²-n² ammettono 2 come unico divisore comune.
In questo caso le rispettive metà devono essere dei quadrati perfetti,
essendo prime fra loro.
Non è vero: prendi $n=6$. La metà di $(6^2-2)^2-6^2$ non è un quadrato perfetto. Siccome vedo che poi basi la tua prova su questa affermazione, non vado oltre a leggerla.
Pero' Bruno parte dall'ipotesi di lavoro che $n[(n^2-2)^2-n^2]$
sia un quadrato esatto,ipotesi che non e' soddisfatta per n=6
( e che del resto non puo' esserlo per nessun valore
di n dato che questa e' proprio la tesi)
karl
sia un quadrato esatto,ipotesi che non e' soddisfatta per n=6
( e che del resto non puo' esserlo per nessun valore
di n dato che questa e' proprio la tesi)
karl
Premetto che sto scrivendo da un internet point, non avendo
il computer a casa (ero però curioso di leggervi).
Sì, Fields, il mio discorso è quello indicato da Karl.
Penso questo: quali sono i divisori comuni di n e n²(n²-5)+4?
Si vede subito che potrebbero essere solo 1, 2 e 4, proprio
per la presenza di 4 nel secondo numero.
Se però divido n e n²(n²-5)+4 per il loro massimo comun divisore,
chiamiamolo d, n/d e [n²(n²-5)+4]/d diventano primi fra loro
e quindi ciascuno di essi deve essere un quadrato (visto che il loro
prodotto è un quadrato).
Così son passato alle due ipotesi: la prima prende in considerazione
il caso in cui il massimo comun divisore sia 2, mentre l'altra considera
1 e 4 (entrambi quadrati) come massimi comuni divisori.
Cosa ne pensi?
Mi farebbe molto piacere che andassi avanti (se ne hai voglia).
il computer a casa (ero però curioso di leggervi).
Sì, Fields, il mio discorso è quello indicato da Karl.
Penso questo: quali sono i divisori comuni di n e n²(n²-5)+4?
Si vede subito che potrebbero essere solo 1, 2 e 4, proprio
per la presenza di 4 nel secondo numero.
Se però divido n e n²(n²-5)+4 per il loro massimo comun divisore,
chiamiamolo d, n/d e [n²(n²-5)+4]/d diventano primi fra loro
e quindi ciascuno di essi deve essere un quadrato (visto che il loro
prodotto è un quadrato).
Così son passato alle due ipotesi: la prima prende in considerazione
il caso in cui il massimo comun divisore sia 2, mentre l'altra considera
1 e 4 (entrambi quadrati) come massimi comuni divisori.
Cosa ne pensi?
"fields":
(...) Siccome vedo che poi basi la tua prova su questa affermazione, non vado oltre a leggerla.
Mi farebbe molto piacere che andassi avanti (se ne hai voglia
).
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