Al cubo e alla quarta
1. Trovare quattro numeri interi tali che il cubo di uno di essi sia uguale alla somma dei cubi degli altri tre
2. E' anche possibile trovare quattro numeri tali che la quarta potenza di uno di essi sia pari alla somma delle quarte potenze degli altri tre ?
2. E' anche possibile trovare quattro numeri tali che la quarta potenza di uno di essi sia pari alla somma delle quarte potenze degli altri tre ?
Risposte
1.
$6^3=5^3+4^3+3^3$
$216=125+64+27$
La 2 mi riporta un po' in mente il teorema di Fermat, ma non mi scoraggio, vedrò di pensarci un po'
(La uno sembrerebbe l'equivalente al cubo con quattro elementi di una terna pitagorica ... se $a^n=b^n+c^n$ per $n>2$ non ha soluzioni allora potrebbe darsi che $a^n=b^n+c^n+d^n$ non abbia soluzioni per $n>3$
)
$6^3=5^3+4^3+3^3$
$216=125+64+27$
La 2 mi riporta un po' in mente il teorema di Fermat, ma non mi scoraggio, vedrò di pensarci un po'
(La uno sembrerebbe l'equivalente al cubo con quattro elementi di una terna pitagorica ... se $a^n=b^n+c^n$ per $n>2$ non ha soluzioni allora potrebbe darsi che $a^n=b^n+c^n+d^n$ non abbia soluzioni per $n>3$
)
ma come hai fatto a trovare quei tre numeri? sei andato a tentativi?
si .. conviene sempre tentare qualche numero leggero per farsi un'idea della situazione
.. conviene sempre tentare qualche numero leggero per farsi un'idea della situazione
"fu^2":
1. Trovare quattro numeri interi tali che il cubo di uno di essi sia uguale alla somma dei cubi degli altri tre
Si può fare tramite l'identità
$[a(a^3+b^3)]^3=[b(a^3+b^3)]^3+[a(a^3-2b^3)]^3+[b(2a^3-b^3)]^3$
non è farina del mio sacco... guardate un pò qui
"fu^2":
2. E' anche possibile trovare quattro numeri tali che la quarta potenza di uno di essi sia pari alla somma delle quarte potenze degli altri tre ?
Probabilmente ispirato dall'ultimo teorema di Fermat, Euler formulò nel 1769 la congettura secondo cui, per ogni intero $k \ge 4$, l'equazione $x_1^k = x_2^k + x_3^k + ... + x_k^k$ non possiede soluzioni non banali sugli interi. La congettura venne smentita negli anni '80 dello scorso secolo quando J. L. Selfridge et al. mostrarono che $133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5$ è la quinta potenza di un intero. Mi risulta tuttavia che qualcuno abbia provato che la congettura di Euler è corretta nel caso in cui k = 4 (per l'appunto, il caso del problema proposto da fu^2).
EDIT: l'italiano.
Il problema e' risolubile, anche se in modo non banale; una soluzione e' data dalla quaterna: 187960, 2682440, 15365639, 20615673.
Cioe' risulta $(187960)^4+(2682440)^4+(15365639)^4=(20615673)^4
quindi ha soluzioni...
Cioe' risulta $(187960)^4+(2682440)^4+(15365639)^4=(20615673)^4
quindi ha soluzioni...
"fu^2":
Il problema e' risolubile [...] una soluzione e' data dalla quaterna: 187960, 2682440, 15365639, 20615673.
Cioe' risulta $(187960)^4+(2682440)^4+(15365639)^4=(20615673)^4 [...] quindi ha soluzioni...
Il Math**at*ca di Wolf**m non è tanto d'accordo: $187960^4+2682440^4+15365639^4 = 55796337630351953868317299041$, mentre $20615673^4 = 180630077292169281088848499041$.
davvero?... mmm mi sa che hai ragione 
Il fatto che sia possibile trovare quattro numeri tali che la quarta potenza di uno di essi sia pari alla somma delle quarte potenze degli altri tre è stato dimostrato nel 1988 da Noam Elkies e i numeri sono:
$(2.682.440)^4+(15.365.639)^4+(18.796.760)^4=(20.615.673)^4$
Mi pare che questa sia la Congettura di Eulero.
$(2.682.440)^4+(15.365.639)^4+(18.796.760)^4=(20.615.673)^4$
Mi pare che questa sia la Congettura di Eulero.
In pratica Fu^2 ha tagliato delle cifre sul terzo numero altrimenti sarebbe stato tutto corretto.
Vorrà dire che ricordavo male.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo