Aiutare il mondo

[exodd]

eccovi un quesito semplice ideato da me guardando un film...
in questo film(di cui nn ricordo il nome) c'è un bambino che per migliorare il mondo propone che ogni persona debba aiutare altre tre persone e che ognuno di queste persone debbano aiutare altre tre persone

ipotizzando che nessuna persona aiuti una persona già aiutata, in quanti passaggi si può aiutare il mondo intero(6 miliardi di persone)?

[_Tipper]

Le persone si possono disporre in un albero ternario completo. La radice dell'albero rappresenta la persona che aiuta per prima, i figli di ogni nodo sono le persone aiutate dal nodo padre. A livello $h$ dunque ci stanno $3^h$ nodi. Il numero di nodi di un albero ternario completo con $n$ livelli è $3^{n+1} - 1$. Si deve determinare il più piccolo intero positivo $n$ tale che

$3^{n+1} - 1 \ge 6 \cdot 10^9$

dunque

$n = \lceil \log_{3} (6 \cdot 10^9 + 1) - 1 \rceil$

[Gaal Dornick]

non so se ho interpretato bene il problema
chiamiamo Giovanni le persone che hanno fatto propria la filosofia di aiutare qualcuno, supponiamo che lo zeresimo giorno ce ne sia una sola, e che tutti gli aiutati si tramutano in Giovanni

zeresimo giorno: 1 Giovanni
primo giorno:1 + 3 Giovanni =4
secondo giorno: 4+4*3=16

n-esimo giorno= 4^n Giovanni

e quindi la soluzione è $k$ ove $k=log_4 (6*10^9)$

[Mega-X]

ok è offtopic, cmq il film si chiama "Un sogno per domani" http://www.mymovies.it/dizionario/recen ... p?id=33092

[_Tipper]

Nel mio post precedente ho sbagliato una formula (è il rischio che si corre ad andare a memoria...): il numero dei nodi in un albero ternario completo è $\frac{3^{n+1} - 1}{2}$, pertanto il numero di livelli necessario per avere almeno $6 \cdot 10^9$ nodi è il più piccolo interno $n$ tale che

$\frac{3^{n+1} - 1}{2} \ge 6 \cdot 10^9$

ovvero

$n = \lceil \log_{3} (12 \cdot 10^9 + 1) - 1 \rceil$

[Gaal Dornick]

e quindi dov'è il mio errore di approccio al problema?

[exodd]

esatto!!!
dovrebbe venire 22 passaggi

EDIT: hai sbagliato perchè la prima persona aiuta SOLO 3 persone in tutto e non 3 al giorno

[_Tipper]

"Gaal Dornick":e quindi dov'è il mio errore di approccio al problema?

Che al secondo giorno non devi contare $4 + 4 \cdot 3$, perché Giovanni non aiuta più nessuno (visto che ha già aiutato tre persone), ma $4 + 3 \cdot 3$.

[Gaal Dornick]

e a me fa 16.. quindi?

[Gaal Dornick]

capisco.. l'avevo pensata un po' come i conigli di Fibonacci..

[Gaal Dornick]

comunque SIMPATICO! In un mesetto ogni essere umano sarebbe aiutato!

[Sk_Anonymous]

"exodd":
hai sbagliato perchè la prima persona aiuta SOLO 3 persone in tutto e non 3 al giorno

Beh, potrebbe essere una variante: se ogni persona ne aiuta tre ogni giorno (con le condizioni di prima) in quanto tempo ci si avvicina a 6 miliardi di persone?

"Gaal Dornick":
zeresimo giorno: 1 Giovanni
primo giorno:1 + 3 Giovanni =4
secondo giorno: 4+4*3=16

Il risultato sarebbe...?

[Mr.X1]

Secondo me bisogna trovare il valore di n tale che
$3^n$=6*10^9$
Dove n è il numero di passaggi, considerando per la prima persona n=0
Es.

per ottenere 27, si ha 1 -> 3 -> 9 -> 27 (n=3)

[Mr.X1]

Secondo i miei calcoli considerando che un bambino ogni giorno aiuta tre persone, in 20 giorni circa aiuta tutta la popolazione mondiale.

[Mr.X1]

Ho fatto il logaritmo in base 3 di 6 miliardi.