Acqua nel vino... vino nell'acqua

[mattoxlamatematica]

Ho due contenitori uguali, contenenti (non fino all'orlo) la stessa quantità, uno di acqua e l'altro di vino.
Dal contenitore dell'acqua prendo una quantità "x" di acqua e la verso nel vino.
Dal contenitore del vino (che ora è però un po’ annacquato) prendo la stessa quantità “x” di vino annacquato e lo verso nell'acqua.
Dopo questi due travasi, avrò più acqua nel contenitore del vino o più vino nel contenitore dell’acqua?

[xXStephXx]

Uguale.

[MattiaAnimeRex]

Se ipotizziamo che nel mischiare le due sostanze si crea una soluzione del tutto omogenea per cui per qualsiasi quantita'
di liquido misto si avra' una composizione del 50% di acqua e vino; in tal caso se ad esempio ho due contenitori da 1 litro
che chiamo A e B e la quantità spostata è X=300 ml si ha:

1) A=1, B=1

2) A=0.7(acqua) , B=1(vino)+0.3(acqua)=1.3 (acqua+vino) ossia 0.65 acqua + 0.65vino

3) A=0.7acqua + 0.3 (acqua + vino)=0.7acqua + 0.15 acqua + 0.15vino=0.85 acqua + 0.15 vino , B=0.5 acqua + 0.5 vino

In tal caso nessuna delle due risposte e' valida, ma forse non intendevi questo XD

[xXStephXx]

Se le quantità si mescolassero correttamente l'acqua travasata dal vino diluito corrisponderebbe a x moltiplicato per il rapporto tra l'acqua contenuta in quel vaso e il totale.

[MattiaAnimeRex]

"xXStephXx":Se le quantità si mescolassero correttamente l'acqua travasata dal vino diluito corrisponderebbe a x moltiplicato per il rapporto tra l'acqua contenuta in quel vaso e il totale.

Si ci avevo pensato anch'io, pero' anche facendo come dici tu non abbiamo lo stesso una delle due risposte valide XD

[@melia]

Nei due contenitori il volume è rimasto uguale a quello iniziale, quindi tanta acqua è stata tolta quanto vino aggiunto nel primo e viceversa nel secondo.

[cenzo1]

Supponiamo di avere il primo recipiente con 5 litri d'acqua e il secondo recipiente con 3 litri di vino.
Supponiamo che il travaso avvenga con un cucchiaio da 0,2 litri.

Riempiamo il cucchiaio nel primo recipiente e lo travasiamo nel secondo. Mescoliamo per bene.
Riempiamo il cucchiaio nel secondo recipiente e lo travasiamo nel primo. Mescoliamo per bene.

Ripetiamo le suddette operazioni 100 volte.

Determinare:
1) la concentrazione di acqua nel primo recipiente;
2) la concentrazione di vino nel primo recipiente;
3) la concentrazione di acqua nel secondo recipiente;
4) la concentrazione di vino nel secondo recipiente.

[Umby2]

"cenzo":

Determinare:
1) la concentrazione di acqua nel primo recipiente;
2) la concentrazione di vino nel primo recipiente;
3) la concentrazione di acqua nel secondo recipiente;
4) la concentrazione di vino nel secondo recipiente.

Semplifichiamo:

1) = 4)

2) = 3)

Attento: i contenitori non sono uguali.

[mattoxlamatematica]

Se il contenitore dell'acqua è 5 l, 3 l quello del vino, 0,2 l il volume del travaso (anche se poi questo dato non influenza il conteggio), si ottiene che dopo "n" travasi si raggiunge inevitabilmente in entrambi i contenitori l'equilibrio della miscela tra due elementi di partenza e cioè tra i nostri 5 e 3 litri (direi che 100 travasi sono più che sufficienti per ragiungere l'equilibrio): in entrami i contenitori avremo quindi che l'acqua è i 5/8 della miscela= 62,5%, resto vino.
o no!?

[cenzo1]

"Umby":Attento: i contenitori non sono uguali.

@mattoxlamatematica: Giusto


E se ripetiamo le operazioni 16 volte ? (16 travasi da A a B e 16 da B ad A)

[Fioravante Patrone1]

http://dri.diptem.unige.it/altro_materiale/travaso_24_mag_08.pdf

[mattoxlamatematica]

Il trend è quello del perfetto equilibrio tra le miscele (tenendo conto di un numero "infinito di travasi") che porterebbe in entrambi i contenitori una concentrazione di acqua pari al 62,5%, resto vino.
Considerando invece solo 16 travasi otteniamo un risultato abbastanza vicino alla saturazione vale a dire:
contenitore 1: acqua 62,51% acqua, resto vino
contenitore 2: vino 37,52 vino, resto acqua
... ma adesso non mi chiedere la concentrazione dopo 25 travasi perchè di conti non ne faccio più...
ciao

[Rigel1]

@cenzo:

Indichiamo con $x_n$ la frazione d'acqua nel primo contenitore all'$n$-esimo passo. Abbiamo che $x_0=1$; per "passo" intendiamo
"Riempiamo il cucchiaio nel primo recipiente e lo travasiamo nel secondo. Mescoliamo per bene.
Riempiamo il cucchiaio nel secondo recipiente e lo travasiamo nel primo. Mescoliamo per bene."
Indichiamo con $V_1$, $V_2$, $v$, rispettivamente, il volume di acqua iniziale nel primo contenitore, quello iniziale di vino nel secondo e quello del cucchiaio, con gli ovvi vincoli $V_1, V_2 \ge 0$ e $0\le v \le V_1$.
Salvo errori, $(x_n)$ è la successione definita per ricorrenza da
$x_0 =1, x_{n+1} = a + b x_n$,
con $a= \frac{v}{V_2+v}$, $b = \frac{V_1-v}{V_1} \cdot \frac{V_2}{V_2+v}$.
Escludendo il caso banale $v =0$ abbiamo che $0\le b < 1$; di conseguenza una soluzione esplicita è
$x_n = \lambda + (x_0 - \lambda) b^n$, con $\lambda = \frac{a}{1-b}$.
Con i dati proposti si ha (sempre salvo errori)
$x_n = 0.625 + 0.375 \cdot (0.9)^n$.

[cenzo1]

@Rigel

Chiedo scusa per questa risposta così in ritardo e ti ringrazio assai per aver postato la tua soluzione.
M'hai fatto scovare un errore nell'equazione di ricorrenza cui ero pervenuto..
e poi non avevo pensato si potesse risolvere.. mi è stato molto utile studiare un po' le equazioni alle differenze finite.

Chapeau!