Accelerazione
Se la derivata della posizione rispetto al tempo di un punto materiale fornisce la velocità del punto stesso e la derivata della velocità rispetto al tempo fornisce l'accelerazione a cui è soggetto il punto materiale, la derivata della accelerazione, sempre rispetto al tempo, cosa rappresenta? Perchè nella cinematica non ve n'è traccia?
Risposte
per Giovanni il chimico: lo so bene e penso anch'io che la der. terza non sia necessaria, ma visto che sembra che qualcuno la usi frequentemente (?) mi piacerebbe proprio sentire un esempio del suo utilizzo! 
In meccanica newtoniana, lagrangiana e hamiltoniana non c'è bisogno di dare un "senso fisico" alla derivata terza della posizione. Le equazioni del moto si ricavano lo stesso. Forse in economia ha un po' più di senso. Giusto per sdrammatizzare:
"Nell'autunno del 1972 il Presidente Nixon ha annunciato che il tasso di incremento dell'inflazione stava diminuendo. Questa è stata la prima volta che un presidente di turno abbia usato la derivata terza per aumentare le proprie probabilità di rielezione."
(attribuita al matematico Hugo Rossi)
Ciao a tutti!
Marco
"Nell'autunno del 1972 il Presidente Nixon ha annunciato che il tasso di incremento dell'inflazione stava diminuendo. Questa è stata la prima volta che un presidente di turno abbia usato la derivata terza per aumentare le proprie probabilità di rielezione."
(attribuita al matematico Hugo Rossi)
Ciao a tutti!
Marco
x asdf:
grazie per la piacevole uscita giocosa (un sorriso aiuta sempre).
x Nekao:
ringrazio delle scuse, che non avevo chiesto: non mi ero offeso, ma fortemente risentito vedendomi attribuite parole mai dette, e ti chiedevo di smentirti.
x fisico:
piacerebbe anche a me sentire da qualche esperto l'uso del jerk; urti e vibrazioni non sono la mia materia, e per questo auspicavo l'intervento di qualche meccanico (son qui fuori tutti in coda smaniosi di farsi sentire [:D])
quindi il mio contributo si è limitato a dire che:
- la derivata dell'accelerazione esiste
- l'organizzazione degli standard si è degnata di darle un nome ("jerk")
- il suo simbolo "j" (minuscolo!) non è ufficiale
- è trattata dai progettisti di veicoli "seri" oltre che di ottovolanti da parco-divertimenti
- ha a che fare con urti e sballottolamenti
- un esempio del suo uso si trova al link indicato
altro contributo (non da tutti apprezzato) è stato di canzonare certe affermazioni rigidissime emerse durante il dibattito; e su questa falsariga, me ne esco con un'ultima scenetta:
al poligono spaziale di Cape Carneval (sic!) in Florida hanno licenziato in tronco uno dei collaboratori.
- motivazione?
metteva a punto la combustione del razzo vettore in modo da avere una spinta prima crescente, poi decrescente.
- embè?
una spinta (forza) variabile significherebbe un'accelerazione variabile e questo non ha senso per alcuni frequentatori di "matematicamente"
e l'ingegnere licenziato torna a casa mogio mogio, badando a pigiare "come si deve" il pedale destro della sua auto, per evitare di imprimerle una vietatissima accelerazione variabile.
tony
grazie per la piacevole uscita giocosa (un sorriso aiuta sempre).
x Nekao:
ringrazio delle scuse, che non avevo chiesto: non mi ero offeso, ma fortemente risentito vedendomi attribuite parole mai dette, e ti chiedevo di smentirti.
x fisico:
piacerebbe anche a me sentire da qualche esperto l'uso del jerk; urti e vibrazioni non sono la mia materia, e per questo auspicavo l'intervento di qualche meccanico (son qui fuori tutti in coda smaniosi di farsi sentire [:D])
quindi il mio contributo si è limitato a dire che:
- la derivata dell'accelerazione esiste
- l'organizzazione degli standard si è degnata di darle un nome ("jerk")
- il suo simbolo "j" (minuscolo!) non è ufficiale
- è trattata dai progettisti di veicoli "seri" oltre che di ottovolanti da parco-divertimenti
- ha a che fare con urti e sballottolamenti
- un esempio del suo uso si trova al link indicato
altro contributo (non da tutti apprezzato) è stato di canzonare certe affermazioni rigidissime emerse durante il dibattito; e su questa falsariga, me ne esco con un'ultima scenetta:
al poligono spaziale di Cape Carneval (sic!) in Florida hanno licenziato in tronco uno dei collaboratori.
- motivazione?
metteva a punto la combustione del razzo vettore in modo da avere una spinta prima crescente, poi decrescente.
- embè?
una spinta (forza) variabile significherebbe un'accelerazione variabile e questo non ha senso per alcuni frequentatori di "matematicamente"
e l'ingegnere licenziato torna a casa mogio mogio, badando a pigiare "come si deve" il pedale destro della sua auto, per evitare di imprimerle una vietatissima accelerazione variabile.
tony
Complimenti! Vedo che il lupo perde il pelo (forse) ma non il vizio (sicuramente).
Visto che si parla di urti e sballottamenti e derivate e qunt'altro vi porto una mia "testimonianza" di sensibilità al prob, visto che sono stato uno di quelli che hanno parlato del fatto che nell'ambito della struttura dello spaziotempo newtoniano non è necessario definirla:
La barca a vela. Come tutti noi penso sappiamo la seconda equazione cardinale della dinamica può essere scritta come Mesterno=I*w' dove Mesterno è la risultante dei momenti agenti su un corpo materiale vincolato a ruotare attorno ad un asse, I è il momento di inerzia polare rispetto all'asse di rotazione e w' è la derivata della velocità angolae. Se consideriamo il beccheggio di una barca, in prima appox essa ruota attorno ad un immaginario asse passante all'incirca nel baricentro della barca (bisognerebbe considerare il punto di deriva e quello di galleggiamento) cmq sia w'=Mesterno/I quindi al crescere di I la varizione della velocità angolare diminuisce e quind il beccheggio si fa meno brusco...infatti una imbarcazione senza albero (che quindi ha un momento di inerzia minore rispetto ad una con l'albero) beccheggia in maniera molto più sconfortevole...
E' del tutto evidente che se le sollecitazioni sulla barca variano nel tempo, allora anche il jerk può essere interessante, ossia si può cercare di determinare quale geometria della barca possa rispondere in maniera più dolce a questa variazione della derivata della velocità angolare....
La barca a vela. Come tutti noi penso sappiamo la seconda equazione cardinale della dinamica può essere scritta come Mesterno=I*w' dove Mesterno è la risultante dei momenti agenti su un corpo materiale vincolato a ruotare attorno ad un asse, I è il momento di inerzia polare rispetto all'asse di rotazione e w' è la derivata della velocità angolae. Se consideriamo il beccheggio di una barca, in prima appox essa ruota attorno ad un immaginario asse passante all'incirca nel baricentro della barca (bisognerebbe considerare il punto di deriva e quello di galleggiamento) cmq sia w'=Mesterno/I quindi al crescere di I la varizione della velocità angolare diminuisce e quind il beccheggio si fa meno brusco...infatti una imbarcazione senza albero (che quindi ha un momento di inerzia minore rispetto ad una con l'albero) beccheggia in maniera molto più sconfortevole...
E' del tutto evidente che se le sollecitazioni sulla barca variano nel tempo, allora anche il jerk può essere interessante, ossia si può cercare di determinare quale geometria della barca possa rispondere in maniera più dolce a questa variazione della derivata della velocità angolare....
Arrivo solo ora, scusate la questa discussione mi è proprio sfuggita, Ultimamente sono un po’ impegnato e se il topic è troppo lungo non riesco a leggerlo tutto.
Spero di non risollevare un vespaio e di chiarire un po’ le cose. In effetti il jerk (variazione dell’accelerazione) è poco usato quelle volte che lo si usa non lo si sente nominato, ma non viene usato così poco come pensate.
Se risolviamo un classico problema di fisica: le lascio cadere un oggetto da un palazzo di 30 metri, quanto tempo impiega a toccare terra? Sappiamo che x = 1/2at^2, conosciamo x (30m) e a (9,81 m/s^2) troviamo facilmente t. Con questi conti, però, trascuriamo una cosa che non sempre è lecito fare: l’attrito dell’aria. E’ proprio qui che salta fuori il jerk: nei moti viscosi, dove la forza di attrito è dipendente dalla velocità.
F=-cv
Negativa perché contraria al moto, c una costante e v la velocità.
In molte riviste automobilistiche leggiamo il coefficiente di penetrazione nell’aria (anche detto cx), salta fuori proprio dalla formula che ho scritto sopra.
Ma facciamo un altro passo avanti e esprimiamo c un finzione della massa (si vede subito perché) e lo definiamo come b=mk. Ora faccio la somma delle forze in un moto viscoso verticale F1=mg e F2=-kmv
F1+F2=mg-kmv=ma (a è diverso da g. Attenzione! a è ‘accelerazione reale )=m dv/dt
dv/dt= g-kv quindi dt=dv/(g-kv) [separazione delle variabili]
integrando e risolvendo nella velocità (considero la velocità iniziale nulla) ottengo
-1/k[ln(g-kv)] [tra v e 0] = t
Quindi
ln (g-kv)/g=-kt
per finire (ho fatto solo passaggi normali, niente trucchi) esprimiamo la velocità in funzione del tempo
v= g/k (1-e^(-kt))
starete pensando: embè?!? Ancora un attimo e ci siamo…
1/k è anche noto come “costante di tempo” che tutti quelli che hanno avuto a che fare con la carica e scarica di condensatori conoscono benissimo. La caica-scarica dei condensatori è infatti il più classico degli esempi di “moto esponenziale”.
Quindi quando facciamo i problemi di fisica ci dimentichiamo dell’attrito viscoso, ma nella realtà ha un fattore non da poco, mentre quando abbiamo a che fare con un moto smorzato (condensatori, ma anche nello studio delle vibrazioni o dei controlli automatici) usiamo la variazione di accelerazione.
Spero di aver chiarito le idee.
WonderP.
Spero di non risollevare un vespaio e di chiarire un po’ le cose. In effetti il jerk (variazione dell’accelerazione) è poco usato quelle volte che lo si usa non lo si sente nominato, ma non viene usato così poco come pensate.
Se risolviamo un classico problema di fisica: le lascio cadere un oggetto da un palazzo di 30 metri, quanto tempo impiega a toccare terra? Sappiamo che x = 1/2at^2, conosciamo x (30m) e a (9,81 m/s^2) troviamo facilmente t. Con questi conti, però, trascuriamo una cosa che non sempre è lecito fare: l’attrito dell’aria. E’ proprio qui che salta fuori il jerk: nei moti viscosi, dove la forza di attrito è dipendente dalla velocità.
F=-cv
Negativa perché contraria al moto, c una costante e v la velocità.
In molte riviste automobilistiche leggiamo il coefficiente di penetrazione nell’aria (anche detto cx), salta fuori proprio dalla formula che ho scritto sopra.
Ma facciamo un altro passo avanti e esprimiamo c un finzione della massa (si vede subito perché) e lo definiamo come b=mk. Ora faccio la somma delle forze in un moto viscoso verticale F1=mg e F2=-kmv
F1+F2=mg-kmv=ma (a è diverso da g. Attenzione! a è ‘accelerazione reale )=m dv/dt
dv/dt= g-kv quindi dt=dv/(g-kv) [separazione delle variabili]
integrando e risolvendo nella velocità (considero la velocità iniziale nulla) ottengo
-1/k[ln(g-kv)] [tra v e 0] = t
Quindi
ln (g-kv)/g=-kt
per finire (ho fatto solo passaggi normali, niente trucchi) esprimiamo la velocità in funzione del tempo
v= g/k (1-e^(-kt))
starete pensando: embè?!? Ancora un attimo e ci siamo…
1/k è anche noto come “costante di tempo” che tutti quelli che hanno avuto a che fare con la carica e scarica di condensatori conoscono benissimo. La caica-scarica dei condensatori è infatti il più classico degli esempi di “moto esponenziale”.
Quindi quando facciamo i problemi di fisica ci dimentichiamo dell’attrito viscoso, ma nella realtà ha un fattore non da poco, mentre quando abbiamo a che fare con un moto smorzato (condensatori, ma anche nello studio delle vibrazioni o dei controlli automatici) usiamo la variazione di accelerazione.
Spero di aver chiarito le idee.
WonderP.
la derivata terza è quella... che vi fa perdere l'equilibrio quando state in piedi in autobus, in tram o in metro, anche su una strada perfettamente liscia, quando il conducente "accelera". infatti, ad accelerazione costante, istintivamente ci incliniamo col corpo nel verso dell'accelerazione per contrastarla, e non l'avvertiamo più di tanto. ma quando l'accelerazione varia allora siamo "sorpresi" e perdiamo l'equilibrio.
un altro esempio sono le auto o le moto sportive (qui gioco in casa
), che hanno la coppia massima notevolmente in alto. un passeggero avverte molto più l'accelerazione su un 125 sportivo che su una sport turing a coppia piatta di maggior cilindrata. il fatto è che aprendo il gas, la coppia cresce al crescere della velocità, dunque l'accelerazione cresce con la velocità e quindi una spinta pur modesta risulta più impressionante di una più corposa perché sempre crescente, e di fatto il passeggero deve reggersi sempre con maggior forza per restare sulla moto
un altro esempio sono le auto o le moto sportive (qui gioco in casa
), che hanno la coppia massima notevolmente in alto. un passeggero avverte molto più l'accelerazione su un 125 sportivo che su una sport turing a coppia piatta di maggior cilindrata. il fatto è che aprendo il gas, la coppia cresce al crescere della velocità, dunque l'accelerazione cresce con la velocità e quindi una spinta pur modesta risulta più impressionante di una più corposa perché sempre crescente, e di fatto il passeggero deve reggersi sempre con maggior forza per restare sulla moto
Giusto Elijah, anche il turbo nelle auto diesel è un variazione di accelerazione... queste cose le ha studiate nell'esame di macchine, ed anche se le proviamo in prima persona le formule che la regolano sono abbastanza "epiriche". Comunque un bel esempio
WonderP.
WonderP.
meno male che si è aggiunta qualche voce "pro-jerk"!
per quanto mi riguarda, appiccico qualche altro link per i curiosi
1 - cercare con google: piston jerk hitachi (senza virgolette di sorta)
dà un'idea di un complicato meccanismo di regolazione dell'accelerazione del pistone di un motore in funz. dell'angolo di rotazione (ai miei tempi, da studente, ci facevano rimediare dimensionando un volano con un po' di Fourier calcolato graficamente !)
2 - andare qui per un accenno di trattazione teorica.
dalla pagina che ho indicata si può risalire nel sito, trovando una quantità di roba assai interessante (eulero o runge-kutta per orbite, etc.)
3 - oltre al già citato argomento di ricerca per google "third derivative of position" (da dare con le virgolette", si può cercare (sempre con le virgolette) "non-linear jerk equations"
se si omette il non-linear viene, ovviamente, una valanga di roba in più
ciao a tutti
tony
per quanto mi riguarda, appiccico qualche altro link per i curiosi
1 - cercare con google: piston jerk hitachi (senza virgolette di sorta)
dà un'idea di un complicato meccanismo di regolazione dell'accelerazione del pistone di un motore in funz. dell'angolo di rotazione (ai miei tempi, da studente, ci facevano rimediare dimensionando un volano con un po' di Fourier calcolato graficamente !)
2 - andare qui per un accenno di trattazione teorica.
dalla pagina che ho indicata si può risalire nel sito, trovando una quantità di roba assai interessante (eulero o runge-kutta per orbite, etc.)
3 - oltre al già citato argomento di ricerca per google "third derivative of position" (da dare con le virgolette", si può cercare (sempre con le virgolette) "non-linear jerk equations"
se si omette il non-linear viene, ovviamente, una valanga di roba in più
ciao a tutti
tony
si il turbodiesel è un esempio perfetto... al regime minimo ti sembra di essere inchiodato, poi ti spara via e ti sembra di volare... anche se in realtà non cambia poi tanto, date le potenze relativamente contenute.
per chi ama questo genere di cose ho implementato un simulatore che, data una funzione che rappresenta la coppia del motore, e tutti i parametri quali cx, rapporti del cambio, massa, simula l'accelerazione di un veicolo, e inoltre trova i punti ideali di cambiata tra ogni marcia! se vi interessa ve lo mando x email!
per chi ama questo genere di cose ho implementato un simulatore che, data una funzione che rappresenta la coppia del motore, e tutti i parametri quali cx, rapporti del cambio, massa, simula l'accelerazione di un veicolo, e inoltre trova i punti ideali di cambiata tra ogni marcia! se vi interessa ve lo mando x email!
Se la derivata della posizione rispetto al tempo di un punto materiale fornisce la velocità del punto stesso e la derivata della velocità rispetto al tempo fornisce l'accelerazione a cui è soggetto il punto materiale, la derivata della accelerazione, sempre rispetto al tempo, cosa rappresenta? Perchè nella cinematica non ve n'è traccia?
Penso sia meglio riportare qui, nuovamente, il quesito da me posto. Desidero mettere in risalto in modo particolare la seconda domanda (la risposta alla prima è banale) In essa si chiede come mai nella CINEMATICA non vi è traccia delle derivate superiori al secondo ordine del vettore posizione r. Gli interventi, anche accalorati, che si sono succeduti hanno tutti perso di vista questo importante particolare, trascinando la questione nel campo della DINAMICA, ancorchè in essa il problema non varia. Mi pare siano state dette molte inesattezze, e vorrei, brevemente proporre una breve dissertazione teorica.
Uno dei concetti fondamentali della Meccanica è il concetto di punto materiale. Con punto materiale si intende un corpo le cui dimensioni siano trascurabili nella descrizione del suo moto.
La posizione di un punto materiale nello spazio è determinata dal suo raggio vettore r le cui componenti coincidono con le sue coordinate cartesiane. La derivata prima di r rispetto al tempo si chiama velocità e la derivata seconda di r rispetto al tempo si chiama accelerazione. Per determinare la posizione nello spazio di un sistema di N punti materiali, è necessario dare N raggi vettori, cioè 3N coordinate. In generale, il numero di grandezze indipendenti che si debbono dare per determinare univocamente la posizione di un sistema, si chiama gradi di libertà (queste grandezze non debbono essere necessariamente le coordinate cartesiane, a seconda del sistema può essere più comoda la scelta di altre coordinate). Si può parlare di coordinate generalizzate q1, q2...qn di un sistema con n gradi di libertà. La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non è sufficiente per determinare lo stato meccanico di un sistema ad un dato istante non permettendo di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Il sistema può avere velocità arbitrarie! Se invece tutte le coordinate e le velocità sono note nello stesso istante, allora è possibile determinare interamente lo stato del sistema. Matematicamente ciò si esprime dicendo che, note le posizioni e le velocità in un dato istante, sono univocamente definite anche le accelerazioni.
Una formulazione generale della legge del moto di sistemi meccanici è data dal principio di minima azione secondo cui ogni sistema meccanico è caratterizzato da una funzione L(q, qpunto, t) dove q è l'insieme delle n coordinate generalizzate, qpunto è l'insieme delle derivate prime di q rispetto a t, e t è il tempo. Il moto, afferma il principio avviene in modo tale che tra due istanti t1 e t2 l'integrale definito della funzione L rispetto a t tra gli istanti t1 e t2 assume un valore minimo (in generale 'estremo').
La funzione L (la nota funzione di Lagrange) contiene solamente q e qpunto ma non derivate di ordine superiore qduepunti, qtrepunti e così via. Questo è dovuto al fatto suindicato che la stato meccanico di un sistema è INTERAMENTE definito dalle sue coordinate e dalle sue velocità.
Dalla funzione L, una volta nota, le equazioni di Lagrange stabiliscono un legame tra le accelerazioni, le velocità e le coordinate, cioè rappresentano le equazioni del moto del sistema.
Credo parlassimo di cose diverse. Non intendevo esaminare le reazioni di un essere umano alle brusche accelerazioni e/o decelerazioni. Chiedendo a Schumacher avremmo avuto sicuramente ottime delucidazioni.
Penso sia meglio riportare qui, nuovamente, il quesito da me posto. Desidero mettere in risalto in modo particolare la seconda domanda (la risposta alla prima è banale) In essa si chiede come mai nella CINEMATICA non vi è traccia delle derivate superiori al secondo ordine del vettore posizione r. Gli interventi, anche accalorati, che si sono succeduti hanno tutti perso di vista questo importante particolare, trascinando la questione nel campo della DINAMICA, ancorchè in essa il problema non varia. Mi pare siano state dette molte inesattezze, e vorrei, brevemente proporre una breve dissertazione teorica.
Uno dei concetti fondamentali della Meccanica è il concetto di punto materiale. Con punto materiale si intende un corpo le cui dimensioni siano trascurabili nella descrizione del suo moto.
La posizione di un punto materiale nello spazio è determinata dal suo raggio vettore r le cui componenti coincidono con le sue coordinate cartesiane. La derivata prima di r rispetto al tempo si chiama velocità e la derivata seconda di r rispetto al tempo si chiama accelerazione. Per determinare la posizione nello spazio di un sistema di N punti materiali, è necessario dare N raggi vettori, cioè 3N coordinate. In generale, il numero di grandezze indipendenti che si debbono dare per determinare univocamente la posizione di un sistema, si chiama gradi di libertà (queste grandezze non debbono essere necessariamente le coordinate cartesiane, a seconda del sistema può essere più comoda la scelta di altre coordinate). Si può parlare di coordinate generalizzate q1, q2...qn di un sistema con n gradi di libertà. La conoscenza delle sole coordinate generalizzate non è sufficiente per determinare lo stato meccanico di un sistema ad un dato istante non permettendo di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Il sistema può avere velocità arbitrarie! Se invece tutte le coordinate e le velocità sono note nello stesso istante, allora è possibile determinare interamente lo stato del sistema. Matematicamente ciò si esprime dicendo che, note le posizioni e le velocità in un dato istante, sono univocamente definite anche le accelerazioni.
Una formulazione generale della legge del moto di sistemi meccanici è data dal principio di minima azione secondo cui ogni sistema meccanico è caratterizzato da una funzione L(q, qpunto, t) dove q è l'insieme delle n coordinate generalizzate, qpunto è l'insieme delle derivate prime di q rispetto a t, e t è il tempo. Il moto, afferma il principio avviene in modo tale che tra due istanti t1 e t2 l'integrale definito della funzione L rispetto a t tra gli istanti t1 e t2 assume un valore minimo (in generale 'estremo').
La funzione L (la nota funzione di Lagrange) contiene solamente q e qpunto ma non derivate di ordine superiore qduepunti, qtrepunti e così via. Questo è dovuto al fatto suindicato che la stato meccanico di un sistema è INTERAMENTE definito dalle sue coordinate e dalle sue velocità.
Dalla funzione L, una volta nota, le equazioni di Lagrange stabiliscono un legame tra le accelerazioni, le velocità e le coordinate, cioè rappresentano le equazioni del moto del sistema.
Credo parlassimo di cose diverse. Non intendevo esaminare le reazioni di un essere umano alle brusche accelerazioni e/o decelerazioni. Chiedendo a Schumacher avremmo avuto sicuramente ottime delucidazioni.
Scusa Nekao, ma a me pare che molti interventi qui (non certo il mio) siano stati piuttosto chiari e competenti, giungendo fra l'altro alle tue stesse conclusioni. Quanto alle reazioni di un essere umano, se ne è parlato, almeno per quanto mi riguarda, per il fatto che è utile, nonché interessante, rapportare l'astrazione delle formule matematiche alla fisicità dell'esperienza umana. credo che ciò fornisca un eccellente strumento di comprensione.
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