(A+B)² = AB
Prendiamo un numero di otto cifre, chiamiamolo AB.
Dividiamo AB in due parti: quattro cifre a sinistra (A)
e quattro a destra (B).
Calcoliamo quindi la somma A+B.
Quali sono i numeri per cui (A+B)² = AB ?
Dividiamo AB in due parti: quattro cifre a sinistra (A)
e quattro a destra (B).
Calcoliamo quindi la somma A+B.
Quali sono i numeri per cui (A+B)² = AB ?
Risposte
A=1000
B=000,0
Non so però se va bene...
B=000,0
Non so però se va bene...
$A = 2450$ oppure $A = 2550$
$B = 2500$
$24502500 = (2450 + 2500) ^ 2$
$25502500 = (2550 + 2500) ^ 2$
$B = 2500$
$24502500 = (2450 + 2500) ^ 2$
$25502500 = (2550 + 2500) ^ 2$
Ci sono altri due numeri che risolvono il problema
52881984
60481729
karl
52881984
60481729
karl
$(x+y)^2=10^4x+y$
Quindi sostituendo $x+y=A$ si ottiene:
$A^2-A-999x=0$
Risolvendo per A:
$A=(1+sqrt(1+3996x))/2$
Risostituendo:
$2x+2y=1+sqrt(1+3996x)$
Poi non so più andare avanti.
A dire il vero, non so nemmeno se è utile essere arrivati a questo punto.
Quindi sostituendo $x+y=A$ si ottiene:
$A^2-A-999x=0$
Risolvendo per A:
$A=(1+sqrt(1+3996x))/2$
Risostituendo:
$2x+2y=1+sqrt(1+3996x)$
Poi non so più andare avanti.
A dire il vero, non so nemmeno se è utile essere arrivati a questo punto.
Io prenderei un numero k la cui somma è (x+y). Cioè parto da
k=x+y. Poichè in termini matematici l'equazione (A+B)^2=AB come detto da cheguevilla è esprimibile
(x+y)^2=10000x+y allora si ha che
x=(k^2-k)/9999
y=k-x
Infatti prendendo k=4950 si trova x=2450 e y=2500
La complicazione sta nello scegliere k in modo che (k^2-k) sia multiplo di 9999
E' una cosa che ho pensato in fretta, forse errata...che ne dite?
k=x+y. Poichè in termini matematici l'equazione (A+B)^2=AB come detto da cheguevilla è esprimibile
(x+y)^2=10000x+y allora si ha che
x=(k^2-k)/9999
y=k-x
Infatti prendendo k=4950 si trova x=2450 e y=2500
La complicazione sta nello scegliere k in modo che (k^2-k) sia multiplo di 9999
E' una cosa che ho pensato in fretta, forse errata...che ne dite?
Io proverei a trasformare il numero in forma polinomiale
$c=a_(7)*10^7+a_(6)*10^6+...+a_(1)*10+a_(0)$
poi dividere, sommare, elevare al quadrato e infine principio di identità dei polinomi, non so se è una buona strada perchè mi pare si arrivi ad un quadrato di quadrinomio.
$c=a_(7)*10^7+a_(6)*10^6+...+a_(1)*10+a_(0)$
poi dividere, sommare, elevare al quadrato e infine principio di identità dei polinomi, non so se è una buona strada perchè mi pare si arrivi ad un quadrato di quadrinomio.
"giuseppe87x":
Io proverei a trasformare il numero in forma polinomiale
$c=a_(7)*10^7+a_(6)*10^6+...+a_(1)*10+a_(0)$
poi dividere, sommare, elevare al quadrato e infine principio di identità dei polinomi, non so se è una buona strada perchè mi pare si arrivi ad un quadrato di quadrinomio.
Anch'io seguirei questa strada, o meglio, è la prima idea che mi era venuta in mente
, ma non so dove mi porterà.......... sempre che lo faccia 
; in questo momento ho 3 bambini urlanti in giro per casa........... 
Mi correggo, adesso ce ne sono 4 di bambini urlanti (3 femmine e 1 maschio...), comunque così non mi pare che si proceda bene sommando i coefficienti..... bah, magari mi chiudo la porta?
Nell'attesa che Bruno dica la sua ecco una posssibile soluzione.
L'equazione da risolvere,com'e' stato gia' detto, e':
$(A+B)^2=10000A+B$ ovvero $A^2-2(5000-B)A+(B^2-B)=0$
da cui $A=5000-B+-sqrt(5000^2-9999B)$ con $0
Evidentemente deve essere $5000^2-9999B=k^2$ con k intero
Riscriviamo l'ultima equazione:
$B=((5000-k)(5000+k))/(3*3*11*101)$
Esaminando tutti i possibili raggruppamenti dei fattori del denominatore,si
hanno i seguenti 10 casi (non vi spaventate,i calcoli li ho fatti io!!)
(1) $B=(5000-k)/9*(5000+k)/(1111)$, (2) $B=(5000-k)/(1111)*(5000+k)/9$
(3) $B=(5000-k)/(33)*(5000+k)/(303)$, (4) $B=(5000-k)/(303)*(5000+k)/(33)$
(5) $B=(5000-k)/3*(5000+k)/(3333)$, (6) $B=(5000-k)/(3333)*(5000+k)/3$
(7) $B=(5000-k)/(909)*(5000+k)/(11)$, (8) $B=(5000-k)/(11)*(5000+k)/(909)$
(9) $B=(5000-k)/(101)*(5000+k)/(99)$, (10) $B=(5000-k)/(99)*(5000+k)/(101)$
con $0
Giocando ora sul fatto che le varie frazioni devono tutte ridursi ad interi (positivi)
si trova che si hanno soluzioni solo nei casi 1°,8° e 10° che vado ad esplicare.
1°) Affinche' la seconda frazione si riduca ad un intero n deve essere
$ k=1111*n-5000$ con n intero e soggetto alle relazioni
$0<1111n-5000<5000$ da cui $4
Facendo variare n da 5 a 9 si trova che la prima frazione e' intera solo
per n=7 per il quale si ha:
$k=7777-5000=2777,B=(5000-2777)/9*(5000+2777)/(1111)=247*7=1729$
Mentre per A si ha: $A=5000-1729+-2777$ ovvero
$A_1=494$ da scartare ,$A_2=6048$ ed in definitiva $AB=60481729$
8°) Deve essere $k=909n-5000$ con $0<909n-5000<5000=>5
Facendo variare n da 6 a 11 si trova una soluzione per n=8 con:
$k=2272,B=(5000-2272)/(11)*(5000+2272)/(909)=1984,A=5000-1984+-2272$
e quind $A_1=744$ da scartare e $A_2=5288$
Pertanto $AB=52881984$
10°)Deve esere $k=101n-5000$ con $0<101n-5000<5000=>49
Facendo variare n da 50 a 98 si trova una soluzione solo per n=50 con:
$k=50,B=2500,A=5000-2500+-50=>A_1=2450,A_2=2550 $
e dunque $(AB)_1=24502500,(AB)_2=25502500$
Nei casi non considerati si deve ragionare in modo analogo ma non si hanno ulteriori soluzioni.
In conclusione si ottiene che:
$(AB)_1=60481729,(AB)_2=52881984,(AB)_3=24502500,(AB)_4=25502500$
Volendo si puo' giungere a questi valori anche con un piccolo programmino (6 ,7 righe !)
in un qualsiasi linguaggio ma non avrebbe lo stesso significato.Mica uno si puo' portare
il computer dovunque...
karl
L'equazione da risolvere,com'e' stato gia' detto, e':
$(A+B)^2=10000A+B$ ovvero $A^2-2(5000-B)A+(B^2-B)=0$
da cui $A=5000-B+-sqrt(5000^2-9999B)$ con $0
Evidentemente deve essere $5000^2-9999B=k^2$ con k intero
Riscriviamo l'ultima equazione:
$B=((5000-k)(5000+k))/(3*3*11*101)$
Esaminando tutti i possibili raggruppamenti dei fattori del denominatore,si
hanno i seguenti 10 casi (non vi spaventate,i calcoli li ho fatti io!!)
(1) $B=(5000-k)/9*(5000+k)/(1111)$, (2) $B=(5000-k)/(1111)*(5000+k)/9$
(3) $B=(5000-k)/(33)*(5000+k)/(303)$, (4) $B=(5000-k)/(303)*(5000+k)/(33)$
(5) $B=(5000-k)/3*(5000+k)/(3333)$, (6) $B=(5000-k)/(3333)*(5000+k)/3$
(7) $B=(5000-k)/(909)*(5000+k)/(11)$, (8) $B=(5000-k)/(11)*(5000+k)/(909)$
(9) $B=(5000-k)/(101)*(5000+k)/(99)$, (10) $B=(5000-k)/(99)*(5000+k)/(101)$
con $0
Giocando ora sul fatto che le varie frazioni devono tutte ridursi ad interi (positivi)
si trova che si hanno soluzioni solo nei casi 1°,8° e 10° che vado ad esplicare.
1°) Affinche' la seconda frazione si riduca ad un intero n deve essere
$ k=1111*n-5000$ con n intero e soggetto alle relazioni
$0<1111n-5000<5000$ da cui $4
Facendo variare n da 5 a 9 si trova che la prima frazione e' intera solo
per n=7 per il quale si ha:
$k=7777-5000=2777,B=(5000-2777)/9*(5000+2777)/(1111)=247*7=1729$
Mentre per A si ha: $A=5000-1729+-2777$ ovvero
$A_1=494$ da scartare ,$A_2=6048$ ed in definitiva $AB=60481729$
8°) Deve essere $k=909n-5000$ con $0<909n-5000<5000=>5
Facendo variare n da 6 a 11 si trova una soluzione per n=8 con:
$k=2272,B=(5000-2272)/(11)*(5000+2272)/(909)=1984,A=5000-1984+-2272$
e quind $A_1=744$ da scartare e $A_2=5288$
Pertanto $AB=52881984$
10°)Deve esere $k=101n-5000$ con $0<101n-5000<5000=>49
Facendo variare n da 50 a 98 si trova una soluzione solo per n=50 con:
$k=50,B=2500,A=5000-2500+-50=>A_1=2450,A_2=2550 $
e dunque $(AB)_1=24502500,(AB)_2=25502500$
Nei casi non considerati si deve ragionare in modo analogo ma non si hanno ulteriori soluzioni.
In conclusione si ottiene che:
$(AB)_1=60481729,(AB)_2=52881984,(AB)_3=24502500,(AB)_4=25502500$
Volendo si puo' giungere a questi valori anche con un piccolo programmino (6 ,7 righe !)
in un qualsiasi linguaggio ma non avrebbe lo stesso significato.Mica uno si puo' portare
il computer dovunque...
karl
In questi giorni riesco appena a leggere qualche post
(alcuni sono proprio belli), poi però mi devo rituffare nel
mio daffare... (e per fortuna c'è!)
Ottimo, Karl
Più o meno anch'io ho ragionato come te (la sottolineatura
è per me...).
Aggiungo solo questo, che forse ti è sfuggito perché
siamo tutti di corsa e il caldo non aiuta.
Oltre alle dieci scomposizioni che hai elencato, c'è anche
la più semplice: 1·9999, che porta a: k = 4999 (k < 5000)
e quindi a: B = 1 e A = 9998, da cui si ottiene un quinto
numero: AB = 99980001.
A presto!
(alcuni sono proprio belli), poi però mi devo rituffare nel
mio daffare... (e per fortuna c'è!)
Ottimo, Karl
Più o meno anch'io ho ragionato come te (la sottolineatura
è per me...).
Aggiungo solo questo, che forse ti è sfuggito perché
siamo tutti di corsa e il caldo non aiuta.
Oltre alle dieci scomposizioni che hai elencato, c'è anche
la più semplice: 1·9999, che porta a: k = 4999 (k < 5000)
e quindi a: B = 1 e A = 9998, da cui si ottiene un quinto
numero: AB = 99980001.
A presto!
Il caso da te prospettato l'avevo considerato anch'io ma l'ho
eliminato pensando che si parlasse di numeri a 4 cifre effettive.
Comunque va bene anche questa quinta soluzione.
Ciao.
karl
eliminato pensando che si parlasse di numeri a 4 cifre effettive.
Comunque va bene anche questa quinta soluzione.
Ciao.
karl
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