$a^4=b^3=c^2$

[al_berto]

Buongiorno
$ 4096=8^4=16^3=64^2$
Di quale altro numero intero $n$ immediatamente successivo si può scrivere $ n=a^4=b^3=c^2 $
e $ a, b, c $ siano numeri interi non sotto radice?

[luigi_rafaiani]

"al_berto":Buongiorno
$ 4096=8^4=16^3=64^2$
Di quale altro numero intero $n$ immediatamente successivo si può scrivere $ n=a^4=b^3=c^2 $
e $ a, b, c $ siano numeri interi non sotto radice?

ciao a tutti sono nuovo del forum e come voi appassionato di giochi matematici.

Provo a rispondere, magari è 531.441

[blackbishop13]

Prima osservazione: se $n=a^4$ con $a$ intero, allora è superfluo cercare un $c$ intero tale che $n=c^2$ perchè questo $c$ sarà sempre $c=a^2$.

quindi il problema è trovare $n=a^4=b^3$
ma se $a$ e $b$ sono interi e verificano l'uguaglianza sopra, allora devono essere il prodotto degli stessi primi, con esponenti diversi.

infatti se ci fosse un primo che compare nella fattorizzazione di $a$ e non di $b$ allora sarebbe impossibile l'uguaglianza $a^4=b^3$.

perciò affinchè sia vera l'uguaglianza si deve aver che ogni primo comune ad $a$ e $b$ sia elevato ad un rispettivo esponente, diciamo $\alpha$ per $a$ e $\beta$ per $b$ tali che $4*\alpha=3*\beta$

siccome gli esponenti sono interi, e $MCD(4,3)=1$ avremo che $n$ è la dodicesima potenza (o multipli di 12) di un numero prodotto di primi distinti.

il più piccolo (esclusi $1$ e $0$ ovviamente) sarà proprio $4096=2^12$. quello successivo perciò azzarderei $531441=3^12$

EDIT: scusa luigi_rafaiani, abbiamo scritto insieme! immagino che il tuo ragionamento sia simile al mio.

[al_berto]

Bravo luigi_rafaini benvenuto voto sette
Bravo blackbishop13 sette più
Quindi il successivo sarà $ 4^12 $
Facilino. Eh?

[luigi_rafaiani]

"blackbishop13":
EDIT: scusa luigi_rafaiani, abbiamo scritto insieme! immagino che il tuo ragionamento sia simile al mio.

non c'è problema.
Si il ragionamento è simile, $ n $ deve essere un numero elevato al $ m.c.m. $ dei tre esponenti 2,3 e 4. Quindi dopo $ 2^(12) $ avremo $ 3^(12) $