A proposito di 'grandi numeri'...
Ragazzi
non capito di sovente nella sezione 'giochi matematici' ma oggi che è un venerdì voglio un poco divertirmi anch'io. Spesso ho provato ad immaginare quali dovevano essere le difficoltà pratiche inocntrate dai matematici dei secoli passati, allorchè non esistevano i computer. Per farcene un'idea voglio proporre a voi una serie di 'indovinelli' [chiamiamoli così ...] e questo è il primo...
Uno dei 'limiti fondamentali' insegnati già alle scuole superiori è il seguente...
$lim_(n->+oo) (1+1/n)^n=e$ (1)
La domanda è la seguente: quanto [all'incirca...] deve essere 'grande' $n$ nella (1) per avere $e$ con cinque cifre esatte?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeh, but never his nature
non capito di sovente nella sezione 'giochi matematici' ma oggi che è un venerdì voglio un poco divertirmi anch'io. Spesso ho provato ad immaginare quali dovevano essere le difficoltà pratiche inocntrate dai matematici dei secoli passati, allorchè non esistevano i computer. Per farcene un'idea voglio proporre a voi una serie di 'indovinelli' [chiamiamoli così ...] e questo è il primo...
Uno dei 'limiti fondamentali' insegnati già alle scuole superiori è il seguente...
$lim_(n->+oo) (1+1/n)^n=e$ (1)
La domanda è la seguente: quanto [all'incirca...] deve essere 'grande' $n$ nella (1) per avere $e$ con cinque cifre esatte?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeh, but never his nature
Risposte
All' incirca $n=745000$,pero lo ammetto, l 'ho fatto col computer x tentativi....
Forse sbaglio, Blackdie, ma non penso che Lupo grigio
si riferisca a 5 decimali.
La porzione di e da considerare, secondo me, è 2,7182.
si riferisca a 5 decimali.
La porzione di e da considerare, secondo me, è 2,7182.
Quello che dice Bruno è esatto, cinque cifre e quindi $e=$'circa' $2.7182$...
Però se qualcuno me la dà a sei cifre allora $e=$'circa' $2.71828$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Però se qualcuno me la dà a sei cifre allora $e=$'circa' $2.71828$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
In ogni caso l'affermazione di balckdie è esatta. Operando in base alla formula...
$e=lim_(n->+oo) (1+1/n)^n$
... uno scassatissimo pentium della prima generazione per calcolare $e$ con cinque cifre compie $16609$ iterazioni e con sei cifre $743255$ iterazioni. Dal momento che già tre secoli fà il valore di $e$ era noto con una precisione maggiore di sei cifre, si presume che i matematici di allora siano ricorsi a qualche 'scorciatoia'...
Quindi problemino: trovare una via che consenta il calcolo di $e$ con cinque e sei cifre più velocemente, indicando il numero di iterazioni da eseguire...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$e=lim_(n->+oo) (1+1/n)^n$
... uno scassatissimo pentium della prima generazione per calcolare $e$ con cinque cifre compie $16609$ iterazioni e con sei cifre $743255$ iterazioni. Dal momento che già tre secoli fà il valore di $e$ era noto con una precisione maggiore di sei cifre, si presume che i matematici di allora siano ricorsi a qualche 'scorciatoia'...
Quindi problemino: trovare una via che consenta il calcolo di $e$ con cinque e sei cifre più velocemente, indicando il numero di iterazioni da eseguire...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Beh calcolare $e$ da tale definizione è masochistico perchè la successione è molto lentamente convergente.
Ma già Newton sapeva fare di meglio. Guardare per credere:
http://mathworld.wolfram.com/e.html
ciao
Ma già Newton sapeva fare di meglio. Guardare per credere:
http://mathworld.wolfram.com/e.html
ciao
Beh, nessuno si metterebbe a calcolarlo con la successione, è più conveniente usare Taylor e poi quantificare l'errore con Lagrange
"Bruno":
Forse sbaglio, Blackdie, ma non penso che Lupo grigio
si riferisca a 5 decimali.
La porzione di e da considerare, secondo me, è 2,7182.
Ah, chedio venia,avevo capito proprio 5 cifre decimali...
Che Newton non fosse un pivello questo lo sappiamo con certezza!... Supponiamo però che, ad oltre tre secoli di distanza, a un condannato a morte si offra la grazia se riesce, disponendo della sola calcolatrice a mano, a calcolare il numero $e$ con cinque [o magari sei... 
] cifre esatte prima dell'esecuzione prevista fra otto ore...
Che l'applicazione diretta della definizione di $e$ non sia particolrmente comoda è evidente, Questo non è di soddisfazione al nostro condannato a morte il quale deve trovare qualche marchingegno atto a risolvere il problema. Già ma come fare?...
Una soluzione potrebbe essere quella di usare la formula generale...
$e^t=lim_(n->+oo) (1+t/n)^n$ (1)
... con l'intento di calcolare la radice k-esima di $e$ e poi ricavare $e$ elevando il valor trovato alla $k$, cosa che in fin dei conti richiede solamente $k$ moltiplicazioni . Esaminando alcuni possibili casi si trova [verificare per credere...] ...
$k=1/2$ -> $e^(1/2)=lim_(n->+oo) (1+1/(2n))^n$
In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $9689$ iterazioni, sei cifre esatte $162185$ iterazioni... ehm!... ancora siamo lontani...
$k=1/10$ -> $e^(1/10)=lim_(n->+oo) (1+1/(10n))^n$
In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $78$ [!...
] iterazioni, sei cifre esatte $6019$ operazioni... per il condannato c'è qualche barlume di speranza...
$k=1/20$ -> $e^(1/20)=lim_(n->+oo) (1+1/(20n))^n$
Ora per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $19$ [!!...
] iterazioni [più altre venti moltiplicazioni fanno $39$ in tutto...] e per sei cifre esatte $1199$ iterazioni... per il condannato in tal caso si profila una bella bevuta alla memoria di Isaac Newton!!!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
] cifre esatte prima dell'esecuzione prevista fra otto ore... Che l'applicazione diretta della definizione di $e$ non sia particolrmente comoda è evidente, Questo non è di soddisfazione al nostro condannato a morte il quale deve trovare qualche marchingegno atto a risolvere il problema. Già ma come fare?...
Una soluzione potrebbe essere quella di usare la formula generale...
$e^t=lim_(n->+oo) (1+t/n)^n$ (1)
... con l'intento di calcolare la radice k-esima di $e$ e poi ricavare $e$ elevando il valor trovato alla $k$, cosa che in fin dei conti richiede solamente $k$ moltiplicazioni . Esaminando alcuni possibili casi si trova [verificare per credere...] ...
$k=1/2$ -> $e^(1/2)=lim_(n->+oo) (1+1/(2n))^n$
In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $9689$ iterazioni, sei cifre esatte $162185$ iterazioni... ehm!... ancora siamo lontani...
$k=1/10$ -> $e^(1/10)=lim_(n->+oo) (1+1/(10n))^n$
In questo caso per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $78$ [!...
] iterazioni, sei cifre esatte $6019$ operazioni... per il condannato c'è qualche barlume di speranza...$k=1/20$ -> $e^(1/20)=lim_(n->+oo) (1+1/(20n))^n$
Ora per ottenere cinque cifre esatte sono necessarie $19$ [!!...
] iterazioni [più altre venti moltiplicazioni fanno $39$ in tutto...] e per sei cifre esatte $1199$ iterazioni... per il condannato in tal caso si profila una bella bevuta alla memoria di Isaac Newton!!!... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Invece di ridere di Newton, se lo avesse usato avrebbe potuto ottenere:
$\sum_{i=0}^8=2.71828$
con:
8 prodotti (elementari tra interi)
8 divisioni (reciproci)
8 somme di coppie di numeri
24 totale di operazioni semplici
La bevuta se la poteva fare ben prima, anche alla salute di Lupo Grigio!
Ciao
$\sum_{i=0}^8=2.71828$
con:
8 prodotti (elementari tra interi)
8 divisioni (reciproci)
8 somme di coppie di numeri
24 totale di operazioni semplici
La bevuta se la poteva fare ben prima, anche alla salute di Lupo Grigio!
Ciao
E' chiaro che nessuno dubita che in questo specifico caso lo sviluppo di Newton sia più veloce di qualunque altro e a quello saremmo arrivati in ogni caso. Lo scopo che mi pronevo con il mio ultimo intervento era invece un altro, e precisamente dimostrare che anche una strada che a prima vista può sembrare impercorribile può con un poco di astuzia essere velocizzata anche di un fattore pari a parecchie migliaia...
Per renderci conto di questo esaminaimo un altro caso e supponiamo che al condannato a morte sia richiesto in cambio della grazia il calcolo di $pi$... diciamo con sei cifre... Che cosa si può inventare in questo caso?...
cordiali saluti
lupo grgio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Per renderci conto di questo esaminaimo un altro caso e supponiamo che al condannato a morte sia richiesto in cambio della grazia il calcolo di $pi$... diciamo con sei cifre... Che cosa si può inventare in questo caso?...
cordiali saluti
lupo grgio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Anche su questo problema si corre il rischio di scoprire l'acqua calda.
Da quanto ne so, determinare il max numero di cifre di $pi$ è un criterio per misurare le prestazioni dei calcolatori, pertanto credo che siano stati molto studiati algoritmi efficienti per farlo.
ciao
PS: non ho mai detto che il metodo di Newton sia il più efficiente per trovare cifre di $e$! Non so se tale affermazione sia vera e non ho nemmeno elementi per dire se sia possibile affermare che esista il metodo più efficiente.
Da quanto ne so, determinare il max numero di cifre di $pi$ è un criterio per misurare le prestazioni dei calcolatori, pertanto credo che siano stati molto studiati algoritmi efficienti per farlo.
ciao
PS: non ho mai detto che il metodo di Newton sia il più efficiente per trovare cifre di $e$! Non so se tale affermazione sia vera e non ho nemmeno elementi per dire se sia possibile affermare che esista il metodo più efficiente.
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