$A \cup B = \mathbb{Z}$, $B + B \subseteq A$ e...
Determinare ogni coppia ordinata di insiemi $A, B \subseteq \mathbb{Z}$ tali che i) $A \cup B = \mathbb{Z}$; ii) se $a \in A$, allora $(a-1) \in B$; iii) se $a, b \in B$, allora $(a+b) \in A$ (le tre condizioni si intendono contemporaneamente soddisfatte).
Risposte
La prima coppia che mi viente in mente:
$A=$ insieme dei numeri pari
$B=$ insieme dei numeri dispari
$A=$ insieme dei numeri pari
$B=$ insieme dei numeri dispari
Ancora prima dovrebbe venirtene in mente un'altra: $A = B = \mathbb{Z}$. Senza lo straccio di una soluzione, però, come escludere che non ve ne sia qualcuna in più?
"DavidHilbert":
Ancora prima dovrebbe venirtene in mente un'altra: $A = B = \mathbb{Z}$. Senza lo straccio di una soluzione, però, come escludere che non ve ne sia qualcuna in più?
Se $0 in B$ e esiste $b >= 2$ tale che $b in B$ allora segue che $b in A$ e $b-1 in B$ e $b-1 A$ e $b-2 in B$ e ....
cioè tutti gli elementi $<=b$ appartengono sia ad $A$ che a $B$., quindi $2 in B$ e $1 in B$.
Da cui $3 in A$ e $2 in B$ e $4 in A$ e $3 in B$ e $5 in A$ e $4 in B$ e $6 in A$...
cioè tutti gli elementi $>=2$ appartengono sia ad $A$ che a $B$, ovvero per quanto già detto $A=ZZ$e $B=ZZ$.
Restano da vedere gli altri casi...
Ciao!
"carlo23":
Restano da vedere gli altri casi...
...già...
"DavidHilbert":
[quote="carlo23"]Restano da vedere gli altri casi...
...già...[/quote]
Mettiamo che $0 in B$ e non sia $2 in B$, quindi non può essere $3 in A$ da cui $3 in B$ e $3 in A$ e $2 in B$, assurdo.
Nel mio precedente post si può togliere la seconda condizione, resta da rimuovere solo la prima...
Ciao!
Qualcuno l'ha scritto, ed io lo ripeto: una soluzione incompleta non vale neppure la fatica del suo revisore.
Rimuovo anche la prima condizione cioè $0 in B$.
Mettiamo che non sia $0 in B$ percui $0 in A$ e $-1 in B$. D'altra parte deve anche essere $1 in B$ poichè non può essere $1 in A$.
Segue che nessun intero positivo dispari può essere in $A$. Infatti se $2n+1 in A$ allora $2n in B$ e $2n-1 in A$ e $2n-2 in B$ e $2n-3 in A$ e... $0 in B$.
Quindi tutti gli interi dispari positivi stanno in $B$, quindi tutti gli interi positivi pari stanno in $A$. Nessun intero positivo pari può essere in $B$ ragionando come sopra.
Ora consideriamo gli interi negativi, nessun intero negativo dispari può essere in $A$ infatti se $-2n-1 in A$ allora $-2n-2 in B$ e $1 in A$ (poichè 2n+3 in B) e $0 in B$.
Quindi tutti gli interi dispari negativi stanno in $B$, segue che tutti gli interi negativi pari stanno in $A$.
Nessun intero negativo pari sta in $B$, infatti se $-2n in B$ allora $1 in A$ (poichè 2n+1 in B) e $0 in B$.
Da cui se non è $0 in B$ allora $A=P^+ ^^ P^- $ e $B=D^+ ^^ D^-$.
Ciao , bel problema spero di non aver commesso errori...
Mettiamo che non sia $0 in B$ percui $0 in A$ e $-1 in B$. D'altra parte deve anche essere $1 in B$ poichè non può essere $1 in A$.
Segue che nessun intero positivo dispari può essere in $A$. Infatti se $2n+1 in A$ allora $2n in B$ e $2n-1 in A$ e $2n-2 in B$ e $2n-3 in A$ e... $0 in B$.
Quindi tutti gli interi dispari positivi stanno in $B$, quindi tutti gli interi positivi pari stanno in $A$. Nessun intero positivo pari può essere in $B$ ragionando come sopra.
Ora consideriamo gli interi negativi, nessun intero negativo dispari può essere in $A$ infatti se $-2n-1 in A$ allora $-2n-2 in B$ e $1 in A$ (poichè 2n+3 in B) e $0 in B$.
Quindi tutti gli interi dispari negativi stanno in $B$, segue che tutti gli interi negativi pari stanno in $A$.
Nessun intero negativo pari sta in $B$, infatti se $-2n in B$ allora $1 in A$ (poichè 2n+1 in B) e $0 in B$.
Da cui se non è $0 in B$ allora $A=P^+ ^^ P^- $ e $B=D^+ ^^ D^-$.
Ciao
, bel problema spero di non aver commesso errori...
"carlo23":
Ciao
...non sono troppo d'accordo: in fondo, è un problema pensato per le scuole medie! Non a caso il ragionamento necessario per risolverlo è ridotto all'osso. Sia come sia, onore al merito: la tua soluzione è sostanzialmente corretta.
"DavidHilbert":
[quote="carlo23"]
Ciao
...non sono troppo d'accordo: in fondo, è un problema pensato per le scuole medie! Non a caso il ragionamento necessario per risolverlo è ridotto all'osso. Sia come sia, onore al merito: la tua soluzione è sostanzialmente corretta.[/quote]
Si si, ho scritto un bel pò, ma è da stamattina che continua a suonarmi il telefono plausibile che i miei ragionamenti siano un pò spezzettati
Ciao ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo