5^2007!
Trovare l'ultima cifra, esculsi gli zeri, dell'espressione
$5^2007!$
$5^2007!$
Risposte
8.. Se qualcuno non posta il procedimento, lo farò io.
Tutte le potenze intere del numero 5 hanno come unità 5 stesso e 2007 non è un eccezzione
Sì, ma c'è un fattoriale.
"Tipper":
Sì, ma c'è un fattoriale.
Scusate, infatti mi sembrava troppo semplice 
è 5 l'ultima cifra esclusi gli zeri della potenza:
$5^2007&$
sarebbe 5*5*5..... 2007 volte....
ogni volta si avrebbe 25 *5
125 *5
facendo il prodotto si avrà sempre 5 come ultima cifra..
$5^2007&$
sarebbe 5*5*5..... 2007 volte....
ogni volta si avrebbe 25 *5
125 *5
facendo il prodotto si avrà sempre 5 come ultima cifra..
"UnKnown089":
è 5 l'ultima cifra esclusi gli zeri della potenza:
$5^2007&$
sarebbe 5*5*5..... 2007 volte....
ogni volta si avrebbe 25 *5
125 *5
facendo il prodotto si avrà sempre 5 come ultima cifra..
C'è un fattoriale...
che fattoriale scusa??
mi sembra così naturale che l'ultima cifra esclusi gli zeri sia 5...
mi sembra così naturale che l'ultima cifra esclusi gli zeri sia 5...
No no..lui intende che dopo la potenza c'è un punto esclamativo... che vuol dire fattoriale.
$5^(2007)!$ nonpuò finire per 5
il perchè è facile capirlo, se chiamiamo $5^(2007)=k$ avremmo che c'è da calcolare $k!$
quindi $k(k-1)(k-2)(...)(3)(2)(1)$
essendo che l'ultima cifra per cui viene moltiplicato è 2, $5^(2007)!$ è pari e in generale, visto che 9*8*7*6*5*4*3*2 non è multilo di 5 come in genrale tutti gli altri fattoriali con decine più grossse, nessun fattoriale potrà avere come ultima cifra un numero dispari, ma solo un numero pari in quanto i sono dentro dei numeri pari il che impedisce di far finire il numero con una cifra dispari, quindi il cinque è escluso.
il perchè è facile capirlo, se chiamiamo $5^(2007)=k$ avremmo che c'è da calcolare $k!$
quindi $k(k-1)(k-2)(...)(3)(2)(1)$
essendo che l'ultima cifra per cui viene moltiplicato è 2, $5^(2007)!$ è pari e in generale, visto che 9*8*7*6*5*4*3*2 non è multilo di 5 come in genrale tutti gli altri fattoriali con decine più grossse, nessun fattoriale potrà avere come ultima cifra un numero dispari, ma solo un numero pari in quanto i sono dentro dei numeri pari il che impedisce di far finire il numero con una cifra dispari, quindi il cinque è escluso.
ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
ecco scusate non avevo letto neanche io bene
è $5^2007!$ in effetti mi sembrava troppo semplice scusate..
ecco scusate non avevo letto neanche io bene
è $5^2007!$ in effetti mi sembrava troppo semplice scusate..
visto che qualsiasi fattoriale può essere diviso con il fattoriale della decina prima, cioè per esempio 20!/10! con resto 0, quindi anche $5^2007!$ è divisibile per 10!
notare che $10!$=$10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=10*3^2*2^3*7*6*5*2^2*3*2=10*(9*2)*(2*7)*2*6*10*12=100*18*14*12*6*2
da qui si nota che ogni numero deve essere pari anche senza gli zeri finali...
quindi il numero da cercare sarà un numero pari (2,4,6,8).
inoltre $5^2007$ finisce per 5 prima di tutti gli altri zeri a destra.
però per ora qua mi blocco
notare che $10!$=$10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=10*3^2*2^3*7*6*5*2^2*3*2=10*(9*2)*(2*7)*2*6*10*12=100*18*14*12*6*2
da qui si nota che ogni numero deve essere pari anche senza gli zeri finali...
quindi il numero da cercare sarà un numero pari (2,4,6,8).
inoltre $5^2007$ finisce per 5 prima di tutti gli altri zeri a destra.
però per ora qua mi blocco
Si deve studiare il numero $n/10^k (mod10)$, con $n=5^2007!$ e $k$ tale che $5^k||n$. Prima si osserva che $n/5^k\equiv -1 (mod5)$, poi, moltiplicando il tutto per l'inverso modulo $5$ di $2^k$, cioè per $2$, si ottiene che il numero, tolti tutti gli zeri a destra, è congruo a $-2$ modulo $5$. E la cifra che soddisfa questa congruenza è $8$.
Azz..
tralasciando il fatto che non ci sarei mai arrivato volevo sapere
$5^k||n$ che indica
(scusate l'ignoranza)
tralasciando il fatto che non ci sarei mai arrivato volevo sapere
$5^k||n$ che indica
(scusate l'ignoranza)
Che $k$ è il più grande intero tale che $5^k$ divide $n$.
"TomSawyer":
Si deve studiare il numero $n/10^k (mod10)$, con $n=5^2007!$ e $k$ tale che $5^k||n$. Prima si osserva che $n/5^k\equiv -1 (mod5)$, poi, moltiplicando il tutto per l'inverso modulo $5$ di $2^k$, cioè per $2$, si ottiene che il numero, tolti tutti gli zeri a destra, è congruo a $-2$ modulo $5$. E la cifra che soddisfa questa congruenza è $8$.
scusa una domanda sciocca, ma da dove la trai l'osservazione che $n/5^k\equiv -1 (mod5)$, soprattutto perchè -1?
Perché rimane una serie di moltiplicazioni del tipo $(2*3*4)*(6*7*8*9)*(11*12*13*14)\cdots$, e ogni parentesi è della forma $5j-1$, per il teorema di Wilson. Cioè hai $4!\equiv-1(mod5)$, e ogni parentesi è riducibile all'ultima congruenza. Ed essendoci un numero dispari di "raggruppamenti", si ha il $-1$ finale.
bello! il trucco del fattoriale è una bella domanda a trabocchetto!
allora la formula non è $x^y$, ma $(x^y)!$, cioè $x^y$ fattoriale!
allora la formula non è $x^y$, ma $(x^y)!$, cioè $x^y$ fattoriale!
"andrew":
bello! il trucco del fattoriale è una bella domanda a trabocchetto!
allora la formula non è $x^y$, ma $(x^y)!$, cioè $x^y$ fattoriale!
Siiii, era una fregatura! Proprio un trabbocchetto! Messo lì apposta per fregarli tutti. Ma va' che simpaticone pure TomSawyer!
Sapessi, la Matematica è piena di trabocchetti. Pensa che c'è gente che legge un libro (boh, magari scritto da Simon Singh), sente parlare di un sacco di cose (di cui si riempie impropriamente la bocca) di alta matematica, come la congettura di Tanyama-Shimura, le equazioni ellittiche o le forme modulari; poi prende in mano qualche ovvietà scritta sul libro di matematica e... trabocchetto! (<- è un punto esclamativo, anche se assomiglia ad un fattoriale) Il tizio in questione pensa di capire qualcosa di Matematica!
E poi, pensa, ci sono di quei trabocchetti della madonna nella TdN: uno legge la congettura di Goldbach, il problema dei primi dispari o, chessò, l'ultimo teorema di Fermat e... trabocchetto! Sono problemi difficilissimi!
Pensa! Pensa che burlona la dea matematica, eh?
grazie per la critica...
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