4 problemi
1) Sia \(\displaystyle P(x) \) il polinomio che si ottiene da \(\displaystyle (1 + x)^{19}+x(1+x)^{18} +x^2(1+x)^{17} +...+ x^{19} \) sviluppando i prodotti e sommando i termini simili.
Determinare il coefficiente del suo termine di grado \(\displaystyle 16 \)
2) Di una funzione \(\displaystyle F : Z → Z \), cioè di una funzione che ad ogni numero intero associa un numero intero, si sa che \(\displaystyle F(F(x)) = x + 2 \) e che
\(\displaystyle F(25) = 100 \). Quanto vale\(\displaystyle F(2008) \)?
3)
Determinare quante sono le cifre del prodotto di tutti i divisori di \(\displaystyle 1000000 \) (compresi \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 1000000 \))
4) Sia \(\displaystyle f(x) = 1 − \frac{1}{2x} \)
Definiamo \(\displaystyle f^2(x) = f(f(x)) \), \(\displaystyle f^3(x) = f(f(f(x))) \) , ecc. Quanto vale \(\displaystyle f^{2008}(2008) \)?
Buona fortuna
Determinare il coefficiente del suo termine di grado \(\displaystyle 16 \)
2) Di una funzione \(\displaystyle F : Z → Z \), cioè di una funzione che ad ogni numero intero associa un numero intero, si sa che \(\displaystyle F(F(x)) = x + 2 \) e che
\(\displaystyle F(25) = 100 \). Quanto vale\(\displaystyle F(2008) \)?
3)
Determinare quante sono le cifre del prodotto di tutti i divisori di \(\displaystyle 1000000 \) (compresi \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 1000000 \))
4) Sia \(\displaystyle f(x) = 1 − \frac{1}{2x} \)
Definiamo \(\displaystyle f^2(x) = f(f(x)) \), \(\displaystyle f^3(x) = f(f(f(x))) \) , ecc. Quanto vale \(\displaystyle f^{2008}(2008) \)?
Buona fortuna
Risposte
1)Allora, cominciamo a calcolarci qualche termine. Sfrutto il binomio di Newton per cui \(\displaystyle (x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k \).
Quindi il termine \(\displaystyle x^16 \) in \(\displaystyle (1 + x)^{19} \) sarà \(\displaystyle \binom{19}{16}x^16 \).
Nel secondo addendo \(\displaystyle x(1+x)^{18} \) il termine \(\displaystyle x^{16} \) avrà come coefficiente \(\displaystyle \binom{18}{15}x^{16} \). Notando la ricorsione, ovvero il coefficiente del secondo addendo è \(\displaystyle \binom{19-1}{16-1} \) e siccome gli ultimi tre termini non producono alcun coefficiente, possiamo scrivere il coefficiente finale come \(\displaystyle \sum_{k=0}^{16}\binom{3+k}{k}=4845 \).
Corretto?
Quindi il termine \(\displaystyle x^16 \) in \(\displaystyle (1 + x)^{19} \) sarà \(\displaystyle \binom{19}{16}x^16 \).
Nel secondo addendo \(\displaystyle x(1+x)^{18} \) il termine \(\displaystyle x^{16} \) avrà come coefficiente \(\displaystyle \binom{18}{15}x^{16} \). Notando la ricorsione, ovvero il coefficiente del secondo addendo è \(\displaystyle \binom{19-1}{16-1} \) e siccome gli ultimi tre termini non producono alcun coefficiente, possiamo scrivere il coefficiente finale come \(\displaystyle \sum_{k=0}^{16}\binom{3+k}{k}=4845 \).
Corretto?
Corretto, ma per fare la sommatoria hai sfruttato la proprietà, riconducendolo a \(\displaystyle \binom{20}{4} \), o hai calcolato a mano?
Per risolvere la somma ho sfruttato il fatto che \(\displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \), da cui \(\displaystyle \binom{3+k}{k}=\binom{3+k}{3}\), ma è un fatto noto che \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{m}=\binom{m+n+1}{m+1} \), poiché \(\displaystyle n=16 \) ed \(\displaystyle m=3 \), si ha \(\displaystyle \binom{20}{4}=4845 \).
Provo con il secondo:
-sappiamo che $f(25)=100$ e che $f(f(25))=27$ da cui $f(100)=27$.
-sappiamo che $f(f(100))=102$ da cui $f(27)=102$.
Continuando con questo ragionamento si vede subito che ogni $f(25+2x)=100+2x$,e invece ogni $f(2x)=2x-73$ da cui $f(2008)=1935$.
-sappiamo che $f(25)=100$ e che $f(f(25))=27$ da cui $f(100)=27$.
-sappiamo che $f(f(100))=102$ da cui $f(27)=102$.
Continuando con questo ragionamento si vede subito che ogni $f(25+2x)=100+2x$,e invece ogni $f(2x)=2x-73$ da cui $f(2008)=1935$.
Esatto! Ora gli altri due
il 4° è carino
E' facile verificare che il prodotto di tutti i divisori è uguale a $2^{147} \cdot 5^{147}$,da cui si deduce che il numero cercato ha 148 cifre 
Ok, esatto xDxD Quindi ora concludi il 4.
Con quanto trovato da Alberto Bosia è semplicissimo. Quando l'esponente della funzione è multiplo di quattro si ha che \(\displaystyle f^{4k}(x)=x \), siccome \(\displaystyle 2008 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{4} \) si ha che \(\displaystyle f^{2008}(2008)=2008 \).
Ok.. Problemi finiti! (Dai domani ne metto altri 4 
)
(Dai domani ne metto altri 4 )
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