4 equazioni in 4 incognite

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni di questo sistema:


[size=150]${(x+y+z+w=10),(x^2+y^2+z^2+w^2=30),(x^3+y^3+z^3+w^3=100),(xyzw=24):}$[/size]


Cordialmente, Alex

[Brancaleone1]

${ ( x=1 ),( y=2 ),( z=3 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=1 ),( y=2 ),( z=4 ),( w=3 ):}$ ${ ( x=1 ),( y=3 ),( z=2 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=1 ),( y=3 ),( z=4 ),( w=2 ):}$ ${ ( x=1 ),( y=4 ),( z=2 ),( w=3 ):}$ ${ ( x=1 ),( y=4 ),( z=3 ),( w=2 ):}$

${ ( x=2 ),( y=3 ),( z=4 ),( w=1 ):}$ ${ ( x=2 ),( y=3 ),( z=1 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=2 ),( y=1 ),( z=4 ),( w=3 ):}$ ${ ( x=2 ),( y=1 ),( z=3 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=2 ),( y=4 ),( z=1 ),( w=3 ):}$ ${ ( x=2 ),( y=4 ),( z=3 ),( w=1 ):}$

${ ( x=3 ),( y=2 ),( z=1 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=3 ),( y=2 ),( z=4 ),( w=1 ):}$ ${ ( x=3 ),( y=1 ),( z=2 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=3 ),( y=1 ),( z=4 ),( w=2 ):}$ ${ ( x=3 ),( y=2 ),( z=1 ),( w=4 ):}$ ${ ( x=3 ),( y=2 ),( z=4 ),( w=1 ):}$

${ ( x=4 ),( y=3 ),( z=2 ),( w=1 ):}$ ${ ( x=4 ),( y=3 ),( z=1 ),( w=2 ):}$ ${ ( x=4 ),( y=2 ),( z=1 ),( w=3 ):}$ ${ ( x=4 ),( y=2 ),( z=3 ),( w=1 ):}$ ${ ( x=4 ),( y=1 ),( z=2 ),( w=3 ):}$ ${ ( x=4 ),( y=1 ),( z=3 ),( w=2 ):}$

[axpgn]

Ho detto "TUTTE" !

[Brancaleone1]

Me ne sono accorto nel frattempo, ho modificato il messaggio

[axpgn]

Esagerato!

Bastava dire che ...

... erano le $4! =24$ permutazioni di $1, 2, 3, 4$

Però, però ... manca ancora un tassello: devi dimostrare che sono tutte ovvero che non ce ne sono altre ...

Cordialmente, Alex

[Brancaleone1]

"axpgn":Esagerato!

Lo sai che mi faccio prendere troppo spesso dallo zelo...

"axpgn":Però, però ... manca ancora un tassello: devi dimostrare che sono tutte ovvero che non ce ne sono altre ...

Lo farò solo se qualcuno dimostrerà che non sono tutte, ovvero che ce ne sono altre...

[dan952]

Chiamiamo per semplicità $s=x+y+z+w$, $q=x^2+y^2+z^2+w^2$ e $c=x^3+y^3+z^3+w^3$
Ora, ricordando che un polinomio avente radici $x,y,z$ e $w$ ha coefficienti che sono funzioni simmetriche delle sue radici otteniamo che le soluzioni del sistema soddisfano necessariamente l'equazione $z^4-10z^3+35z^2-50z+24=0$ dove $35=(s^2-q)/2$ e $50=(s^3-3(qs-c)-c)/6$.

[Vincent46]

Più brutalmente (e bruttamente): la seconda equazione mi dice che tutte le soluzioni valgono al massimo $5$ (in valore assoluto). Sfruttando le simmetrie rimangono ben pochi casi da analizzare

[axpgn]

@Brancaleone
Lo sai che in Matematica non funziona così

Comunque, dato che finora non l'ha detto nessuno ...

Il sistema ha grado $24$ perciò ...

@dan95
Mi è un po' oscuro ...

[dan952]

@alex

Un'equazione di 4°grado ha al più 4 soluzioni distinte, quindi... la quaderna di Brancaleone è formata da tutte e sole le radici di quell'equazione (a meno di permutarle).

[axpgn]

Mi è oscuro il percorso che hai fatto per arrivare all'equazione di quarto grado non come risolverla e tutto il resto (anche perché non è necessario arrivarci, vedi Brancaleone, seppur sia corretto farlo ...)

[dan952]

Siano $x,y,z,w$ le soluzioni del sistema, risulta che

$(t-x)(t-y)(t-z)(t-w)=t^4-(x+y+z+w)t^3+(xy+yz+zw+yw+zx+xw)t^2-(xyz+xyw+xwz+zwy)t+xyzw$

Ora i coefficienti di $t^2$ e $t$ si trovano come ho scritto nel post precedente gli altri due sono 10 e 24.