3 disuguaglianze
1)
Siano a,b,c,d numeri reali positivi. Dimostrare che:
\(\displaystyle a^3cd+b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd \)
2)
Si determini il minimo valore dell'espressione
\(\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} \)
sapendo che \(\displaystyle a,b,c,d \) sono numeri reali positivi la cui somma è \(\displaystyle 20 \).
3)
Siano x,y,z numeri reali maggiori di 1 tali che \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =2 \)
Dimostrare che \(\displaystyle \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \)
Siano a,b,c,d numeri reali positivi. Dimostrare che:
\(\displaystyle a^3cd+b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd \)
2)
Si determini il minimo valore dell'espressione
\(\displaystyle \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} \)
sapendo che \(\displaystyle a,b,c,d \) sono numeri reali positivi la cui somma è \(\displaystyle 20 \).
3)
Siano x,y,z numeri reali maggiori di 1 tali che \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =2 \)
Dimostrare che \(\displaystyle \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \)
Risposte
Faccio il primo. Dividendo per \(\displaystyle abcd \), la disuguaglianza viene semplicemente per riarrangiamento.
Per il secondo azzardo $6/25$. Devo però verificarlo.
Vanno bene 
Per la seconda ovviamente ci vorrebbe una dimostrazione.
Per la seconda ovviamente ci vorrebbe una dimostrazione.
Curiosità, ma dove li trovi questi problemi che posti ogni volta?
Sul secondo ci sto ancora lavorando, probabilmente si tratta di dimostrare che non si può ottenere un valore più piccolo di quello da me indicato, con una semplice disuguaglianza.
Sul secondo ci sto ancora lavorando, probabilmente si tratta di dimostrare che non si può ottenere un valore più piccolo di quello da me indicato, con una semplice disuguaglianza.
Suvvia se hai postato il risultato giusto presumo che anche il ragionamento sia corretto 
Non è un risultato che si ottiene a caso quello! xDD (a meno che non hai posto tutti uguali per provare..)
Comunque.. le fonti sono diverse.. Alcuni li prendo dai Cortona, altri da cesenatico, altri mi capitano sotto mano e non so nemmeno io da dove provengono...
Non è un risultato che si ottiene a caso quello! xDD (a meno che non hai posto tutti uguali per provare..)Comunque.. le fonti sono diverse.. Alcuni li prendo dai Cortona, altri da cesenatico, altri mi capitano sotto mano e non so nemmeno io da dove provengono...
In maniera grezza, o i 4 numeri sono uguali o sono del tipo 17 1 1 1 oppure 16 2 1 1, o robe del genere, insomma hai capito... Le combinazioni intermedie è difficile che possano c'entrare, sia per quanto riguarda il massimo che il minimo. Infatti il mio intuito mi porta a dire che il massimo di questa espressione non ci sia, perchè un numero deve essere vicino a 20 e gli altri 3 vicini allo 0). Un ragionamento da giochi matematici e non da Olimpiadi, ecco tutto. Però adesso mi ci metto
Altra dimostrazione del punto 2:
Faccio i prodotti ottenendo \(\displaystyle \frac{ad+ac+ab+bc+bd+cd}{abcd} \). Ovviamente dobbiamo massimizzare il prodotto \(\displaystyle abcd \) per AM-GM può essere al massimo \(\displaystyle 5^4 \). Ora per la disuguaglianza di Maclaurin abbiamo che la somma dei monomi \(\displaystyle ad+ac+ab+bc+bd+cd \) può valere al minimo \(\displaystyle 6\cdot 5^3 \). Sostituendo si ha \(\displaystyle \frac{6\cdot 5^2}{5^4}=\frac{6}{25} \).
Faccio i prodotti ottenendo \(\displaystyle \frac{ad+ac+ab+bc+bd+cd}{abcd} \). Ovviamente dobbiamo massimizzare il prodotto \(\displaystyle abcd \) per AM-GM può essere al massimo \(\displaystyle 5^4 \). Ora per la disuguaglianza di Maclaurin abbiamo che la somma dei monomi \(\displaystyle ad+ac+ab+bc+bd+cd \) può valere al minimo \(\displaystyle 6\cdot 5^3 \). Sostituendo si ha \(\displaystyle \frac{6\cdot 5^2}{5^4}=\frac{6}{25} \).
Non sono d'accordo sulla parte in cui dici qual è il minimo della somma dei monomi. Credo semmai che quello sia il massimo.
Va bene va bene Dovendo minimizzare il numeratore si ha che la frazione diventa:
\(\displaystyle \frac{6\sqrt{abcd}}{abcd} = \frac{6}{\sqrt{abcd}} \)
Quindi torna quello che ha scritto giannirecanati.
Ah... chiaramente rimane da trovare un caso in cui la frazione assume valore minimo.. Ma quello teoricamente è stato scritto prima
Dovendo minimizzare il numeratore si ha che la frazione diventa:\(\displaystyle \frac{6\sqrt{abcd}}{abcd} = \frac{6}{\sqrt{abcd}} \)
Quindi torna quello che ha scritto giannirecanati.
Ah... chiaramente rimane da trovare un caso in cui la frazione assume valore minimo.. Ma quello teoricamente è stato scritto prima
Secondo me è sufficiente applicare AM-GM globalmente un paio di volte.
\(\displaystyle \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}+ \frac{1}{ad}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} \geq \frac{6}{\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}} =\frac{6}{\sqrt{abcd}} \geq \frac{6}{\sqrt{\frac{(a+b+c+d)^4}{4^4}}}=\frac{96}{20^2}=\frac{6}{25}\)
In definitiva abbiamo che :
\(\displaystyle \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}+ \frac{1}{ad}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} \geq \frac{6}{25}\)
e dunque il minimo richiesto è proprio \(\displaystyle \frac{6}{25} \) che si ottiene quando è \(\displaystyle a=b=c=d=5 \)
\(\displaystyle \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}+ \frac{1}{ad}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} \geq \frac{6}{\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}} =\frac{6}{\sqrt{abcd}} \geq \frac{6}{\sqrt{\frac{(a+b+c+d)^4}{4^4}}}=\frac{96}{20^2}=\frac{6}{25}\)
In definitiva abbiamo che :
\(\displaystyle \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}+ \frac{1}{ad}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{bd}+\frac{1}{cd} \geq \frac{6}{25}\)
e dunque il minimo richiesto è proprio \(\displaystyle \frac{6}{25} \) che si ottiene quando è \(\displaystyle a=b=c=d=5 \)
Visto che non ci sono risposte faccio il 3°.
Premessa.
Siano a,b,c,p,q,r numeri reali positivi. Vale la diseguaglianza :
(A) \(\displaystyle \frac{a^2}{p}+ \frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r} \geq \frac{(a+b+c)^2}{p+q+r}\)
Di tale relazione esistono varie dimostrazioni : scelgo quella più elementare.
Detto z un qualunque numero reale vale che :
\(\displaystyle ( \frac{a}{\sqrt p}z+\sqrt p)^2+ ( \frac{b}{\sqrt q}z+\sqrt q)^2+( \frac{c}{\sqrt r}z+\sqrt r)^2\geq 0\)
Ovvero :
\(\displaystyle ( \frac{a^2}{p}+\frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r} )z^2+2(a+b+c)z+(p+q+r) \geq 0\)
Poiché il coefficiente di \(\displaystyle z^2 \) è certamente positivo, la diseguaglianza precedente è verificata per ogni z sse il discriminante del trinomio a primo membro non è positivo. Deve essere dunque :
\(\displaystyle (a+b+c)^2-(p+q+r)(\frac{a^2}{p}+\frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r})\leq 0 \)
e da qui si ricava appunto che :
\(\displaystyle \frac{a^2}{p}+ \frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r} \geq \frac{(a+b+c)^2}{p+q+r}\)
Ritornando al nostro quesito, osservo che la condizione posta si può anche scrivere così :
\(\displaystyle \frac{x-1}{x} +\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z} =1\)
Oppure:
(B) \(\displaystyle \frac{(\sqrt{x-1})^2}{x} +\frac{(\sqrt{y-1})^2}{y}+\frac{(\sqrt{z-1})^2}{z} =1\)
Adesso pongo : \(\displaystyle a=\sqrt{x-1} ,b=\sqrt{y-1},c=\sqrt{z-1},p=x,q=y,r=z\) ed applico la (A) alla (B) :
\(\displaystyle 1= \frac{(\sqrt{x-1})^2}{x} +\frac{(\sqrt{y-1})^2}{y}+\frac{(\sqrt{z-1})^2}{z} \geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2 }{x+y+z}\)
Da qui ricavo che :
\(\displaystyle 1 \geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2 }{x+y+z}\)
Da cui ,estraendo la radice quadrata ,si ricava quanto voluto :
\(\displaystyle \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)
Premessa.
Siano a,b,c,p,q,r numeri reali positivi. Vale la diseguaglianza :
(A) \(\displaystyle \frac{a^2}{p}+ \frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r} \geq \frac{(a+b+c)^2}{p+q+r}\)
Di tale relazione esistono varie dimostrazioni : scelgo quella più elementare.
Detto z un qualunque numero reale vale che :
\(\displaystyle ( \frac{a}{\sqrt p}z+\sqrt p)^2+ ( \frac{b}{\sqrt q}z+\sqrt q)^2+( \frac{c}{\sqrt r}z+\sqrt r)^2\geq 0\)
Ovvero :
\(\displaystyle ( \frac{a^2}{p}+\frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r} )z^2+2(a+b+c)z+(p+q+r) \geq 0\)
Poiché il coefficiente di \(\displaystyle z^2 \) è certamente positivo, la diseguaglianza precedente è verificata per ogni z sse il discriminante del trinomio a primo membro non è positivo. Deve essere dunque :
\(\displaystyle (a+b+c)^2-(p+q+r)(\frac{a^2}{p}+\frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r})\leq 0 \)
e da qui si ricava appunto che :
\(\displaystyle \frac{a^2}{p}+ \frac{b^2}{q}+\frac{c^2}{r} \geq \frac{(a+b+c)^2}{p+q+r}\)
Ritornando al nostro quesito, osservo che la condizione posta si può anche scrivere così :
\(\displaystyle \frac{x-1}{x} +\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z} =1\)
Oppure:
(B) \(\displaystyle \frac{(\sqrt{x-1})^2}{x} +\frac{(\sqrt{y-1})^2}{y}+\frac{(\sqrt{z-1})^2}{z} =1\)
Adesso pongo : \(\displaystyle a=\sqrt{x-1} ,b=\sqrt{y-1},c=\sqrt{z-1},p=x,q=y,r=z\) ed applico la (A) alla (B) :
\(\displaystyle 1= \frac{(\sqrt{x-1})^2}{x} +\frac{(\sqrt{y-1})^2}{y}+\frac{(\sqrt{z-1})^2}{z} \geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2 }{x+y+z}\)
Da qui ricavo che :
\(\displaystyle 1 \geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2 }{x+y+z}\)
Da cui ,estraendo la radice quadrata ,si ricava quanto voluto :
\(\displaystyle \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)
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