$24|sigma(24n-1)$

[TomSawyer1]

Mostrare che $sigma(24n-1)$ (dove $sigma$ è la funzione sommatoria dei divisori) è sempre divisibile per $24$, con $n in NN$.

[carlo232]

"Crook":Mostrare che $sigma(24n-1)$ (dove $sigma$ è la funzione sommatoria dei divisori) è sempre divisibile per $24$, con $n in NN$.

Se $d|(24n-1)$ allora $d$ è primo con $24$ e $(24n-1)/d -= -d^-1 mod 24$. Per enumerazione si verifica che per ogni $a in {0,1,2...23}$ primo con $24$ si ha $a-a^-1 -= 0 mod 24$, per cui essendo $24n-1 -= -1 mod 4$ cioè non un quadrato perfetto
accade $sigma(24n-1)=sum_(d|24n-1 d
PS il titolo del tuo post è errato, dovrebbe essere $24|sigma(24n-1)$

[TomSawyer1]

Non capisco come inserisci nella soluzione finale il fatto che $a-a^(-1)-=0(mod24)$, per ogni $a in [1,23]$.

[carlo232]

"Crook":Non capisco come inserisci nella soluzione finale il fatto che $a-a^(-1)-=0(mod24)$, per ogni $a in [1,23]$.

Ho mostrato che $(24n-1)/d -= -d^-1 mod 24$ per cui il termine dell'ultima sommatoria si riduce a $d-d^-1$ da cui la tesi.

[Sk_Anonymous]

"Crook":Mostrare che $sigma(24n-1)$ (dove $sigma$ è la funzione sommatoria dei divisori) è sempre divisibile per $24$, con $n in NN$.

Per ogni $n \in NN^+$: gcd(24n-1,6) = 1, e perciò 24n-1 possiede almeno un divisore primo $p \equiv -1 $mod 6 tale che $v_p(24n-1) \equiv 1$ mod 2. Dunque 3 | $\sigma(24n-1)$. Se poi $24n-1 = p^a$, dove $p$ è primo in $NN$ ed $a$ è un intero positivo, allora necessariamente $a \equiv 1$ mod 2 e $p \equiv -1$ mod 8. Altrimenti $24n-1$ possiede almeno una coppia $(p,q)$ di divisori primi naturali tali che $p \equiv -1$ mod 8 e $v_p(24n-1) \equiv 1$ mod 2 oppure $p \equiv -1$ mod 4, $q \equiv 1$ mod 4 e $v_p(24n-1) \equiv v_q(24n-1) \equiv 1$ mod 2. In ogni caso, 8 | $\sigma(24n-1)$. Poiché gcd(3,8) = 1, segue la tesi.

[TomSawyer1]

"DavidHilbert":Per ogni $n \in NN^+$: gcd(24n-1,6) = 1, e perciò 24n-1 possiede almeno un divisore primo $p \equiv -1 $mod 6 tale che $v_p(24n-1) \equiv 1$ mod 2. Dunque 3 | $\sigma(24n-1)$.

Come mai $v_p(24n-1)-=1(mod2)$? E perché segue immediatamente $3|sigma(24n-1)$?

[Sk_Anonymous]

Poiché $\gcd(24n-1,6) = 1$, tutti i divisori primi interi di 24n-1 sono necessariamente $\equiv \pm 1$ mod 6. Se dunque per assurdo fosse $v_p(24n-1) \equiv 0$ mod 2, per ogni primo $p \equiv -1$ mod 6, allora (per la fattorizzazione unica degli interi) si avrebbe $-1 \equiv 24n - 1 \equiv 1$ mod 6.