24. Sistema solare in miniatura
Ho risolto il problema posto, ma poi mi e' venuto un dubbio.
Da come e' enunciato, sembrerebbe che la traettoria di P possa essere considerata una specie di epicicloide su un'ellisse, e cosi' io ne ho calcolata la lunghezza, ma poiche' il titolo fa riferimento al sistema solare, mi e' venuto il dubbio che debba essere trattato come moto centrale con centro in un fuoco, anziche' nel centro degli assi.
In tal caso, bisognerebbe anche distinguere se il movimento del centro di rotazione di P debba essere considerato uniforme o, come in realta', se questo debba soddisfare la legge delle costanza delle aree (Keplero), quindi con velocita' variabile lungo l'ellisse.
Ho quindi risolto il problema in tutti i 3 modi, ma qual'e' quello richiesto? La domanda e' rivolta naturalmente a Marcello Pedone che ha posto il problema. Grazie.
Da come e' enunciato, sembrerebbe che la traettoria di P possa essere considerata una specie di epicicloide su un'ellisse, e cosi' io ne ho calcolata la lunghezza, ma poiche' il titolo fa riferimento al sistema solare, mi e' venuto il dubbio che debba essere trattato come moto centrale con centro in un fuoco, anziche' nel centro degli assi.
In tal caso, bisognerebbe anche distinguere se il movimento del centro di rotazione di P debba essere considerato uniforme o, come in realta', se questo debba soddisfare la legge delle costanza delle aree (Keplero), quindi con velocita' variabile lungo l'ellisse.
Ho quindi risolto il problema in tutti i 3 modi, ma qual'e' quello richiesto? La domanda e' rivolta naturalmente a Marcello Pedone che ha posto il problema. Grazie.
Risposte
Il problema si risolve senza tenere conto della fisica implicata nel sistema solare.
Marcello Pedone
Marcello Pedone
Mi pare che non ci siano più dubbi sul fatto che il pennino blu (che rappresenta la terra) si muova indipendentemente dalle leggi della fisica implicate in un'orbita reale.
A mio avviso, però, rimane una questione aperta, non chiarita nel testo del problema, che influenza in maniera sostanziale il risultato del problema (cioè si hanno risultati differenti). Come si muove il pennino blu?
Avanzo le seguenti ipotesi (le stesse di pippo nel post gemello mi pare):
1. il pennino si muove sull'ellisse in modo tale che il raggio vettore che congiunge il pennino con il centro dell'ellisse (il punto di incontro dei due assi di simmetria) ruoti con velocità angolare costante. In tal caso il problema è di semplice risoluzione.
2. il pennino si muove sull'ellisse con velocità costante. In tal caso la risoluzione del problema risulta essere parecchio più complessa.
E' facile vedere che le due ipotesi non sono equivalenti e che il risultato del problema dipende dalla validità dell'una o dell'altra. Per questo motivo dunque mi chiedo (e vi chiedo): qual'è tra queste due ipotesi quella corretta? E se nessuna delle due lo è, come si muove allora il pennino?
Ringrazio anticipatamente.
Cordiali Saluti,
Marcello
A mio avviso, però, rimane una questione aperta, non chiarita nel testo del problema, che influenza in maniera sostanziale il risultato del problema (cioè si hanno risultati differenti). Come si muove il pennino blu?
Avanzo le seguenti ipotesi (le stesse di pippo nel post gemello mi pare):
1. il pennino si muove sull'ellisse in modo tale che il raggio vettore che congiunge il pennino con il centro dell'ellisse (il punto di incontro dei due assi di simmetria) ruoti con velocità angolare costante. In tal caso il problema è di semplice risoluzione.
2. il pennino si muove sull'ellisse con velocità costante. In tal caso la risoluzione del problema risulta essere parecchio più complessa.
E' facile vedere che le due ipotesi non sono equivalenti e che il risultato del problema dipende dalla validità dell'una o dell'altra. Per questo motivo dunque mi chiedo (e vi chiedo): qual'è tra queste due ipotesi quella corretta? E se nessuna delle due lo è, come si muove allora il pennino?
Ringrazio anticipatamente.
Cordiali Saluti,
Marcello
Mi permetto di insistere nella mia richiesta poiché ho già ottenuto un certo numero di risultati, tutti corretti e tutti diversi, ognuno dei quali dipende dal tipo di moto che si assume valido per il pennino blu (a mio avviso sono tutti corretti poiché nel testo del problema non viene detto in che modo si muove detto pennino).
Io ritengo cioè che allo stato attuale il problema non sia ancora perfettamente determinato. Mi sbaglio?
Ringrazio ancora una volta anticipatamente per le eventuali risposte.
Cordiali Saluti,
Marcello
Io ritengo cioè che allo stato attuale il problema non sia ancora perfettamente determinato. Mi sbaglio?
Ringrazio ancora una volta anticipatamente per le eventuali risposte.
Cordiali Saluti,
Marcello
"Io ritengo cioè che allo stato attuale il problema non sia ancora perfettamente determinato".
Come ho scritto
"Il problema si risolve senza tenere conto della fisica implicata nel sistema solare" e quindi senza tener conto delle velocità.
Non posso aggiungere altro , quasi tutti i risultati pervenuti coincidono con la soluzione esatta.
Marcello Pedone
Come ho scritto
"Il problema si risolve senza tenere conto della fisica implicata nel sistema solare" e quindi senza tener conto delle velocità.
Non posso aggiungere altro , quasi tutti i risultati pervenuti coincidono con la soluzione esatta.
Marcello Pedone
La risposta è indecifrabile! [:(][:0]
La soluzione del problema non necessità delle leggi della fisica.
Marcello Pedone
Marcello Pedone
Indipendentemente dalle leggi della fisica, la punta blu descrive la curva a velocità costante o no [?][?][?][?]
Volevo fare osservare che le soluzioni pubblicate sono di due tipi sostanzialmente diversi.
Quelle di Giovanni Schgoer e mia considerano costante il rapporto delle velocità angolari della Terra e della Luna rispetto al centro dell'ellisse mentre in quelle di Valerio Traviani e Francesco Vinciprova questo rapporto non è costante.
Questo provoca una piccola differenza nella lunghezza della traittoria
(388,829 e 388,818) visibile anche nelle figure riportate.
In futuro sarebbe meglio pubblicare le soluzioni dei quesiti prima della stesura della classifica definitiva allo scopo di evitare possibili contestazioni.
Quelle di Giovanni Schgoer e mia considerano costante il rapporto delle velocità angolari della Terra e della Luna rispetto al centro dell'ellisse mentre in quelle di Valerio Traviani e Francesco Vinciprova questo rapporto non è costante.
Questo provoca una piccola differenza nella lunghezza della traittoria
(388,829 e 388,818) visibile anche nelle figure riportate.
In futuro sarebbe meglio pubblicare le soluzioni dei quesiti prima della stesura della classifica definitiva allo scopo di evitare possibili contestazioni.
Ciao MaMo,
è esattamente a quello che hai fatto notare tu a cui mi riferivo (neanche tanto velatamente nonostante il quesito non fosse ancora scaduto) con i miei precedenti posts in questo stesso 3d. Oltre ai due a cui tu hai fatto riferimento io ho anche ottenuto un terzo risultato, di poco differente dai precedenti, ottenuto ipotizzando che il pennino blu si muovesse con velocità costante sull'ellisse.
Cordiali Saluti,
Marcello
è esattamente a quello che hai fatto notare tu a cui mi riferivo (neanche tanto velatamente nonostante il quesito non fosse ancora scaduto) con i miei precedenti posts in questo stesso 3d. Oltre ai due a cui tu hai fatto riferimento io ho anche ottenuto un terzo risultato, di poco differente dai precedenti, ottenuto ipotizzando che il pennino blu si muovesse con velocità costante sull'ellisse.
Cordiali Saluti,
Marcello
L'osservazione di MaMo del 5/01/2005 mi ha incoraggiato (*) a mettere in evidenza un aspetto di contestabilità di alcune delle soluzioni pubblicate: il non considerare la fase iniziale della luna.
Cerco di spiegarmi:
Tutti d'accordo sul fatto che, con origine nel centro dell'orbita terrestre, la posiz. della luna è data da
x_L = a*cos(alfa)+R*cos(beta), e similmente
y_L = b*sin(alfa)+R*sin(beta)
Uno dei modelli usati (anche da me) considera la velocità di beta proporzionale a quella di alfa;
sarà allora: beta=k*alfa+fi_0
dove fi_0 è l'angolo Luna-Terra nel punto in cui alfa=0
L'influenza di fi_0 sulla posizione della luna è incontestabile.
Appurato ciò, chi a priori può concludere che fi_0 non influisca anche sulla lunghezza L della traiettoria?
Secondo me fi_0 va messo nell'espressione da integrare, e il calcolo va ripetuto per diversi valori di fi_0 per rendersi conto di come L sia funzione di fi_0; dopodichè si potranno tirare delle conclusioni, che andrebbero doverosamente citate nella soluzione.
Nel caso specifico, se i miei calcoli non sono errati, fi_0 influisce su L nel seguente modo:
1 - fi_0 "modula" L con un andamento quasi-sinusoidale; cioè L è una costante cui si somma una quasi-sinusoide.
2 - il periodo di questa è pi se k è pari, 2*pi se k è dispari.
2 - l'ampiezza varia molto rapidamente con k:
per k=2 l'amp. (relativa al val. med. di L) è ~= 2 / 143
per k=4: 1,1*10^-2 / 182, per k=6: 0,9*10^-7 / 246, per k=8: 0,85*10^-12, e per il nostro k=10: 0,4*10^-17
(valori ottenuti con derive a 24 cifre di precisione per il calcolo)
(un matematico potrebbe certamente arrivare a queste conclusioni in modo simbolico(**), senza tabulare brutalmente le funzioni; io non ne sono all'altezza)
In conclusione si vede che, con i parametri del nostro problema, (a=24, b=8*sqr(5), k=10) l'effetto di fi_0 è irrilevante; ma questa è una conclusione a cui si perviene solo dopo aver fatto i calcoli contenenti fi_0.
Invece le soluzioni di cui parlavo ignorano "tout court" fi_0, senza nemmeno dichiararlo; e io, dopo averle lette, le contesto: il risultato è esatto, la motivazione è incompleta.
Mi interessano i punti di vista sia dei concorrenti che della giuria.
nota(*):
mi sono anche un po' rinfrancato con la discussione (qui sul forum) del topic "esame con palloncino" da cui si concluderebbe che sta al solutore accorgersi di quali elementi "entrano" nella soluzione di un problema e dichiarare le ragioni per cui ne scarta qualcuno.
nota (**): magari approssimando L con una serie di Fourier.
tony
Cerco di spiegarmi:
Tutti d'accordo sul fatto che, con origine nel centro dell'orbita terrestre, la posiz. della luna è data da
x_L = a*cos(alfa)+R*cos(beta), e similmente
y_L = b*sin(alfa)+R*sin(beta)
Uno dei modelli usati (anche da me) considera la velocità di beta proporzionale a quella di alfa;
sarà allora: beta=k*alfa+fi_0
dove fi_0 è l'angolo Luna-Terra nel punto in cui alfa=0
L'influenza di fi_0 sulla posizione della luna è incontestabile.
Appurato ciò, chi a priori può concludere che fi_0 non influisca anche sulla lunghezza L della traiettoria?
Secondo me fi_0 va messo nell'espressione da integrare, e il calcolo va ripetuto per diversi valori di fi_0 per rendersi conto di come L sia funzione di fi_0; dopodichè si potranno tirare delle conclusioni, che andrebbero doverosamente citate nella soluzione.
Nel caso specifico, se i miei calcoli non sono errati, fi_0 influisce su L nel seguente modo:
1 - fi_0 "modula" L con un andamento quasi-sinusoidale; cioè L è una costante cui si somma una quasi-sinusoide.
2 - il periodo di questa è pi se k è pari, 2*pi se k è dispari.
2 - l'ampiezza varia molto rapidamente con k:
per k=2 l'amp. (relativa al val. med. di L) è ~= 2 / 143
per k=4: 1,1*10^-2 / 182, per k=6: 0,9*10^-7 / 246, per k=8: 0,85*10^-12, e per il nostro k=10: 0,4*10^-17
(valori ottenuti con derive a 24 cifre di precisione per il calcolo)
(un matematico potrebbe certamente arrivare a queste conclusioni in modo simbolico(**), senza tabulare brutalmente le funzioni; io non ne sono all'altezza)
In conclusione si vede che, con i parametri del nostro problema, (a=24, b=8*sqr(5), k=10) l'effetto di fi_0 è irrilevante; ma questa è una conclusione a cui si perviene solo dopo aver fatto i calcoli contenenti fi_0.
Invece le soluzioni di cui parlavo ignorano "tout court" fi_0, senza nemmeno dichiararlo; e io, dopo averle lette, le contesto: il risultato è esatto, la motivazione è incompleta.
Mi interessano i punti di vista sia dei concorrenti che della giuria.
nota(*):
mi sono anche un po' rinfrancato con la discussione (qui sul forum) del topic "esame con palloncino" da cui si concluderebbe che sta al solutore accorgersi di quali elementi "entrano" nella soluzione di un problema e dichiarare le ragioni per cui ne scarta qualcuno.
nota (**): magari approssimando L con una serie di Fourier.
tony
sono piuttosto perplesso:
il mio ultimo post era una seria, ragionevole ed urbana contestazione di un fatto, e non ha avuto alcun commento (a parte quello di MaMo scritto inizialmente nel topic del palloncino)
- per quanto riguarda i concorrenti alla gara, ne dedurrei che nessuno ha tenuto conto della fase (altrimenti avrei avuto almeno una parola di appoggio); poco popolare, quindi, la mia uscita.
- ma la giuria, il suo parere potrebbe ben darmelo!
(specie visto che la mia non era una contestazione tardiva: ma tutto quanto ho detto è scritto nella soluzione inviata a suo tempo)
tony
il mio ultimo post era una seria, ragionevole ed urbana contestazione di un fatto, e non ha avuto alcun commento (a parte quello di MaMo scritto inizialmente nel topic del palloncino)
- per quanto riguarda i concorrenti alla gara, ne dedurrei che nessuno ha tenuto conto della fase (altrimenti avrei avuto almeno una parola di appoggio); poco popolare, quindi, la mia uscita.
- ma la giuria, il suo parere potrebbe ben darmelo!
(specie visto che la mia non era una contestazione tardiva: ma tutto quanto ho detto è scritto nella soluzione inviata a suo tempo)
tony
dormitant?
strano, ancora nessuna risposta dalla giuria
mi pare che pian piano stiamo scivolando nel grottesco
a confronto, nel "processo" di Kafka le motivazioni erano lampanti [:D]
e io ci faccio anche la figura del postulante rompiscatole [:)]
tony
strano, ancora nessuna risposta dalla giuria
mi pare che pian piano stiamo scivolando nel grottesco
a confronto, nel "processo" di Kafka le motivazioni erano lampanti [:D]
e io ci faccio anche la figura del postulante rompiscatole [:)]
tony
Quanto dice tony mi sembra inoppugnabile : la lunghezza della traiettoria risente della fase iniziale della luna .
Certo, ne risente "molto poco" però ne risente .
Ritengo che se ne debbano trarre le necessarie conclusioni .
Camillo
Certo, ne risente "molto poco" però ne risente .
Ritengo che se ne debbano trarre le necessarie conclusioni .
Camillo
ecco un altro elettricista, sensibile ai deleteri effetti del cos phi.
e scommetterei che non è l'unico fra i silenziosi lettori ... [:)]
tony
e scommetterei che non è l'unico fra i silenziosi lettori ... [:)]
tony
ha quasi fatto un giro, la luna (quella vera) dal 24 gennaio, e il mio messaggio ancora non ha avuto risposta dall'autore-arbitro Marcello Pedone (quasi da Guinness dei primati).
non posso pensare che non si senta di rispondermi, quindi dedurrei che non legge questa rubrica;
un amico mi ha suggerito di farlo svegliare dal moderatore della rubrica;
potrebbe essere un'idea, ma ... Marcello E' il moderatore [:D][:D][:D]
la divertente situazione di stallo è perfetta!
c'è chi mi suggerisce di risolvere la questione con e-mail private;
e perchè mai, dico io, se l'argomento è pubblico? (eccome! forse sgradevole per alcuni, può esser seguito con un certo interesse da altri)
resto in attesa con crescente curiosità
tony
non posso pensare che non si senta di rispondermi, quindi dedurrei che non legge questa rubrica;
un amico mi ha suggerito di farlo svegliare dal moderatore della rubrica;
potrebbe essere un'idea, ma ... Marcello E' il moderatore [:D][:D][:D]
la divertente situazione di stallo è perfetta!
c'è chi mi suggerisce di risolvere la questione con e-mail private;
e perchè mai, dico io, se l'argomento è pubblico? (eccome! forse sgradevole per alcuni, può esser seguito con un certo interesse da altri)
resto in attesa con crescente curiosità
tony
ha quasi fatto un altro giro la luna dal 18 febbraio, e Marcello Pedone ancora non si è fatto vivo.
devo cominciare a pensare che, al contrario di quanto dicevo, non si senta di rispondermi?
qui sul forum nessuno ha il diritto di pretendere una risposta e nessuno ha il dovere di dargliela,
però,
non credo ci vorrebbe molto a buttar giù su carta la spiegazione che chiedevo.
io sono paziente: continuerò a "sprecar banda" insistendo di tanto in tanto senza trascendere, finchè non avrò qualche riscontro "ufficiale".
(mi rendo conto che per i lettori questa è una scocciatura, e me ne scuso con loro)
tony
devo cominciare a pensare che, al contrario di quanto dicevo, non si senta di rispondermi?
qui sul forum nessuno ha il diritto di pretendere una risposta e nessuno ha il dovere di dargliela,
però,
non credo ci vorrebbe molto a buttar giù su carta la spiegazione che chiedevo.
io sono paziente: continuerò a "sprecar banda" insistendo di tanto in tanto senza trascendere, finchè non avrò qualche riscontro "ufficiale".
(mi rendo conto che per i lettori questa è una scocciatura, e me ne scuso con loro)
tony
non sono fatti miei, ma mi sembra che Tony meriti una risposta... al max negativa (io considererei corrette le risposte dato che la posizione iniziale della luna si poteva dare per scontata e non modifica il procedimento teorico della sol: mia opinione!), ma pur sempre una risposta!
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