$11^a=57^b-1$
Non conosco soluzioni $a,b in NN$ di
$11^a=57^b-1$
ma posso dire che sia $a,b$ la soluzione con $b$ più piccolo di tutte le altre soluzioni allora $b$ è un numero primo.
Qualcuno sa dimostrarlo?
Ciao!
$11^a=57^b-1$
ma posso dire che sia $a,b$ la soluzione con $b$ più piccolo di tutte le altre soluzioni allora $b$ è un numero primo.
Qualcuno sa dimostrarlo?
Ciao!
Risposte
scusa Carlo, forse leggo male il problema, ma ad esponente di 57 c'e' solo b, vero?
ma allora 57^b e' dispari
dunque il secondo membro e' pari, mentre il primo e' dispari!
Dunque non esistono due numeri naturali tali da verificare la tua equazione!
Se invece ad esponente del 57 ci fosse b-1 si avrebbe una potenza di 11 a sinistra che non potra' mai essere uguale al prodotto di una potenza di 3 e 19.
Quindi in ogni caso l'equazione non ha soluzioni
ma allora 57^b e' dispari
dunque il secondo membro e' pari, mentre il primo e' dispari!
Dunque non esistono due numeri naturali tali da verificare la tua equazione!
Se invece ad esponente del 57 ci fosse b-1 si avrebbe una potenza di 11 a sinistra che non potra' mai essere uguale al prodotto di una potenza di 3 e 19.
Quindi in ogni caso l'equazione non ha soluzioni
"Giusepperoma":
scusa Carlo, forse leggo male il problema, ma ad esponente di 57 c'e' solo b, vero?
ma allora 57^b e' dispari
dunque il secondo membro e' pari, mentre il primo e' dispari!
Dunque non esistono due numeri naturali tali da verificare la tua equazione!
Se invece ad esponente del 57 ci fosse b-1 si avrebbe una potenza di 11 a sinistra che non potra' mai essere uguale al prodotto di una potenza di 3 e 19.
Quindi in ogni caso l'equazione non ha soluzioni
Ma certo, ho preso una vista, il fatto è che ho ideato una versione più generale del problema, poi ho messo due numeri nella versione generale, mi sono dimenticato che il primo deve essere pari. A scanso ulteriori sviste causa stanchezza fisica ma anche mentale
l'equazione è$2^a=57^b-1$
Ciao!
MI SEMBRAVA STRANO....
e qual è la versione generale?
"blackdie":
e qual è la versione generale?
Abbiamo già detto molte volte che se $d|n$ allora $a^d-1|a^n-1$, ora se $a -= 1 mod p$ con $p$ numero primo allora è possibile che
$p^m = a^n-1$ per qualche $m,n in N-{0,1}$
se esistono soluzioni allora sia $n,m$ la soluzione con $n$ più piccolo. se $d|n$ con $d
$p^k=a^d-1$ per qualche $k$
allora anche $d,d$ sarebbe una soluzione e dato che $d
Da cui il $b$ più piccolo se esiste è un numero primo.
Ciao!
"carlo23":
[quote="blackdie"]e qual è la versione generale?
Abbiamo già detto molte volte che se $d|n$ allora $a^d-1|a^n-1$, ora se $a -= 1 mod p$ con $p$ numero primo allora è possibile che
$p^m = a^n-1$ per qualche $m,n in N-{0,1}$
se esistono soluzioni allora sia $n,m$ la soluzione con $n$ più piccolo. se $d|n$ con $d
$p^k=a^d-1$ per qualche $k$
allora anche $d,d$ sarebbe una soluzione e dato che $d
Da cui il $b$ più piccolo se esiste è un numero primo. Ad esempio $a=3,p=2$ allora la più piccola soluzione di
$2^m=3^n-1$
è $m=3,n=2$ e infatti $n$ è primo.
Ciao!
[/quote]
57^b-1 è divisibile per 7, anzi per 56, quindi non ci sono soluzioni.
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