$101$ cifre

[axpgn]

Un multiplo di $7$ è composto da $101$ cifre, le prime cinquanta (cioè da sinistra) sono tutte $6$ mentre le ultime cinquanta (cioè da destra) sono tutti $4$.

Qual è la cifra di mezzo?



Cordialmente, Alex

[superpippone]

$4$

[axpgn]

Perché?

[superpippone]

Ho cercato qual era il numero che moltiplicato per $7$ mi dava quel risultato. Doveva avere 100 cifre, e cominciare per 9. Partendo dal fondo, era una sequenza ricorrente $063492$ e così avevo 48 cifre. La quarantanovesima era 2, e la cinquantesima 9 (partendo dal fondo). La cifra misteriosa era la cinquantunesima. Facendo un paio di tentativi, ho scoperto che per ottenere i 7, c'era una sequenza ricorrente $095238$. sapendo che la prima cifra era 9, anche la cinquantaduesima (dal fondo) doveva essere 9. Per far ciò, la cinquantunesima (dal fondo) doveva essere $4$. E così, anche la 51 cifra del risultato è $4$.

[axpgn]

Non ci ho capito niente

Devo studiarmelo per bene



Cordialmente, Alex

[superpippone]

$9523809523809523809523809523809523809523809523809492063492063492063492063492063492063492063492063492*7=666666666666666666666666666666666666666666666666664444444444444444444444444444444444444444444444444444$

Non so perchè, ma non si vede tutto.....

[axpgn]

@superpippone
[ot]Hai fatto veramente la moltiplicazione? Non avevi solo la calcolatrice? Oppure sei passato a sistemi più tecnologici? [/ot]

Peraltro si possono "ridurre" un po' i calcoli ...

Ricostruendo il moltiplicando per $7$ al fine di ottenere una sfilza di $4$, si arriva velocemente a trovare che $444.444$ è un multiplo di $7$, quindi le ultime $48$ cifre le possiamo far sparire.
Inoltre, viene il sospetto che si possa fare altrettanto dall'altro "lato"; infatti anche $666.666$ è un multiplo di $7$ e di conseguenza anche le prime $48$ cifre spariscono.
Rimane solo $66c44$ ed è facile stabilire che solo per $c=4$ quel numero è divisibile per $7$.

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

È sicuramente...

...una delle seguenti cifre: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Scherzi a parte la cifra è

4

Edit: forse axpgn preferisci che apro un nuovo thread? Dimmi te.

Estensione:
Prendiamo il numero di axpgn, e scriviamo in 51-esima posizione una cifra diversa che chiamo \(m\). Il nuovo numero chiaramente non è un multiplo di \(7\). Per renderlo tale facciamo quanto segue:

Scegliamo tra i primi quarantotto "\(4\)" (da destra) una posizione \( 1 \leq i \leq 48 \) e una cifra \(s\) in modo tale che soddisfano quanto segue:
1) Scrivendo la cifra \(s\) al posto del \(4\) in posizione \(i\) allora il numero risultante è divisibile per \( 7 \).
2) Suddividendo il numero in gruppi di 3 cifre partendo da destra allora risulta che il numero \(g\) di 3 cifre che contiene la posizione \(i\) - ovvero in cui c'è la cifra \(s\) - è tale che il resto della divisione di \(g\) per \(7\) è proprio \(s\), i.e. \(g = 7n+s \) per qualche intero \(n\) e \( 0 \leq s < 7 \).

- Per quali posizioni \(i\) non ci sono soluzioni \((m,s) \)?
- Per le posizioni \(i\) per cui esistono delle soluzioni trovare tutte le soluzioni \( (m,s) \) in funzione della posizione scelta \(i\).

[axpgn]

Beh, ormai l'hai scritto

Non ho capito molto, comunque un paio di considerazioni ...

Modificando la cifra centrale, basta modificare conseguentemente la prima cifra ovvero il primo quattro a destra per rendere il numero ancora divisibile per sette ($0->5, 1->3, 2->1, 3->6, 5->9, 6->7$).
E con un po' di lavoro aggiuntivo, si possono determinare le cifre da sostituire invece ad ognuno degli altri quattro di ogni gruppo di sei ($444.444$).
Ovvero determino per ogni cifra centrale diversa da $4$ quella da sostituire ad un qualsiasi dei $48$ quattro a partite da destra per mantenere la divisibilità per sette.
Il resto del lavoro lo lascio a te (vabbè, quando l'avrò capito meglio, ci penserò )

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh posso sempre eliminare il messaggio e aprire un nuovo thread.

Detto ciò.

La mia domanda è diversa. Non è tanto quanto modificata arbitrariamente la cifra di mezzo quale quattro devo cambiare. Ma è più specifica.
Cambiando un 4 di una posizione data \(i\) con una cifra \(0 \leq s < 7 \) tale che almeno una delle seguenti congruenze è soddisfatta (a dipendenza della posizione che occupa)
\[ 44s \equiv s \mod 7 \]
\[ 4s4 \equiv s \mod 7 \]
\[ s44 \equiv s \mod 7 \]
posso cambiare la cifra in mezzo in modo tale che il numero sia ancora divisibile per \(7\) ? Se sì con quale cifra devo cambiarlo? E come questo varia in base alla posizione \(i \) scelta!

La restrizione su \(s\) mi piaceva semplicemente!

[axpgn]

Premessa: non ho ancora "letto" il tuo ultimo post però intanto avevo "ragionato" su ciò che avevo detto prima e questo è ciò che ho ottenuto ...

Se la cifra centrale è pari a $2$ o a $9$ i gruppi di sei $4$ partendo da destra vanno modificati in una di questi quattro modi $444.434, 444.441, 444.448, 444644$, mentre se la cifra centrale viene modificata in $6$ allora i gruppi di sei $4$ vanno modificati in questi quattro modi $434.444, 441.444, 448.444, 644.444$.
Ovviamente un solo gruppo alla volta va modificato.

Cordialmente, Alex