100000 <= x <= 999999

[H2O1]

Quanti x in Z con $100000 <= x <= 999999$ ci sono che hanno una cifra ripetuta esattamente 2 volte e tutte le altre 4 cifre del numero appaiono solo una volta?

vi sembra corretta la mia risposta

$9*9*8*7*5 * (6!)/(2!) $

[exodd]

non dovrebbe essere
$9*1*8*7*6*5*(5+4+3+2+1)$
cioè
$15*(9!)/(4!)$
$(5*9!)/(8)$
$45*7!$
?

[H2O1]

"exodd":non dovrebbe essere
$9*1*8*7*6*5*(5+4+3+2+1)$
cioè
$15*(9!)/(4!)$
$(5*9!)/(8)$
$45*7!$
?

mi potresti spiegare perchè?

[Aethelmyth]

La matematica, fortunatamente, non è dogmatica e questo forum esiste appositamente per esplicare esercizi e soluzioni. Le vostre risposte differiscono di un fattore $9*4$, quindi se scrivete anche il ragionamento che vi ha guidati probabilmente non avrete bisogno dell'aiuto che H2O ha richiesto all'inizio del 3d .

Io considererei innanzitutto de Disposizioni di 10 elementi (da 0 a 9 ) classe 5. In questo modo se aggiungiamo ad ogni disposizione uno di quei cinque numeri, scopriamo di poterlo fare in 6 modi ottenendo un numero del tipo richiesto dal quesito. Quindi avremo $(10!)/(5!)*5*6$. Il problema di questa soluzione sono gli zeri all'inizio del numero, che non vanno considerati, altrimenti avremmo numeri di 5 o 4 cifre. Dobbiamo quindi sottrarre qualche numero. Fissati due 0 all'inizio del numero, tutti i possibili numeri "False Friends" ( ) sono $(9!)/(4!)$. Se vogliamo considerare anche i casi in cui il secondo 0 sia alla 3°, 4° 5° o 6° cifra ci basta moltiplicare per 5. Quindi la soluzione è $(10!)/(5!)*5*6-5*(9!)/(4!)=(6*10!-5*9!)/(4!)$

Spero di non aver sbagliato

[exodd]

proviamo a rifare dall'inizio che mi sto confondendo...
consideriamo tutti i numeri di 6 cifre con una coppia all'interno e tutti i numeri diversi l'uno dall'altro(esclusa la coppia)
se contiamo che gli zeri a sinistra siano cifre notevoli otterremo:
$10*1*9*8*7*6*(5+4+3+2+1)$
ovvero
$(10!)/(5!)*15$
adesso dobbiamo toglierci tutti i numeri di 6 cifre con uno o due zeri all'inizio
i numeri con 2 zeri all'inizio sono $(9!)/(5!)$. moltiplicando per 5 si hanno tutti i numeri di 6 cifre che hanno una coppia di zeri ed uno zero all'inizio, quindi$5*(9!)/(5!)=(9!)/(4!)$
adesso dobbiamo calcolare i numeri che non hanno una coppia di zeri ma hanno uno zero all'inizio
quindi $9*1*8*7*6*(4+3+2+1)$ ovvero $10*(9!)/(5!)$
sottraendo al numero iniziale viene$(10!)/(5!)*15-(9!)/(4!)-10*(9!)/(5!)$
semplificando
$(10!)/(4!)*3-(9!)/(4!)-2*(9!)/(4!)$

$(10!*3-3*9!)/(4!)$

$3*(10!-9!)/(4!)$

$3*(9!*(10-1))/(4!)$

$27*(9!)/(4!)$

[vecchio1]

confermo il secondo risultato di Exodd. Se può aiutare io ho ragionato così, usando di fatto solo permutazioni..

il mio numero a 6 cifre sarà

ABCDEF

Quante cifre posso mettere in A? Ovviamente posso mettercene solo 9. E' chiaro cosa intendo? Mi chiedo in pratica con quale cifra può iniziare il numero a 6 cifre. La prima cifra potrà essere un numero qualunque tra 1 e 9, quindi 9 possibilità diverse. Spero sia chiaro.
Quindi proseguendo.

Ipotizziamo di volere che la prima cifra sia quella "doppiona". Se per esempio è la seconda cifra la sua "compagna" allora avrò:

ABCDEF
919876

C potrà assumere ancora 9 cifre!! perchè stavolta posso usare anche lo 0.

E se fosse C il doppione di A?
allora avrei
991876
e così via..

quindi se la cifra da "doppiare" fosse la prima, avrei 9*9*8*7*6*5 modi diversi per farlo.

Analogamente studio il caso in cui fosse la B la cifra da "doppiare".
Quindi avrei

ABCDEF
991876

stavolta, sì da escludere i casi già considerati prima, il doppione di B potrà essere solo C, D, E o F. quindi il "numero di numeri" che fanno al caso nostro saranno 9*9*1*8*7*6*4

e così via..

quindi ho:

9*9*8*7*6*1 *5+
9*9*8*7*6*1 *4+
9*9*8*7*6*1 *3+
9*9*8*7*6*1 *2+
9*9*8*7*6*1 *1=
________________

= 9*9*8*7*6*1*(5+4+3+2+1)=
=$9*(9!)/(5!)*5*3$=
=$27*(9!)/(4!)$.


ciao ciao
il vecchio

[H2O1]

Vi spiego come avevo ragionato io:

Avendo a disposizione un numero di 6 cifre

es: 112345

posso formare utilizzando esattamente quelle cifre (1, 1, 2, 3, 4, 5) :

$(6!)/(2!*1!*1!*1!*1!)$ numeri

questi cinque numeri posso prenderli in:

$9 * 9 * 8 * 7 * 6 $ modi per il ragionamento che ha fatto il vecchio.

quindi la risposta mi sembrava: $9*9*8*7*6* (6!)/(2!)$

Anche i vostri ragionamenti mi sembrano corretti quindi non so' ora quale seguire...

[exodd]

"H2O":
posso formare utilizzando esattamente quelle cifre (1, 1, 2, 3, 4, 5) :

$(6!)/(2!*1!*1!*1!*1!)$ numeri

forse hai sbagliato qui:
con (1,1,2,3,4,5)
puoi formare $5+4+3+2+1$ numeri