$(1-xy)^n<=1-x+e^(-yn)$

[_luca.barletta]

Dimostrare che per $x,y \in [0,1]$ e $n>0$ vale che
$(1-xy)^n<=1-x+e^(-yn)$.

[ficus2002]

"luca.barletta":Dimostrare che per $x,y \in [0,1]$ e $n>0$ vale che
$(1-xy)^n<=1-x+e^(-yn)$.

La disuguaglianza è vera per $y=0$, cioè $1<=1-x+1$. D'ora in poi $y\ne 0$.
Comincio a provare che
$\alpha^z\le \alpha + e^(-z)$ per ogni $0\le \alpha \le 1$ e $z>0$ (reale).
Se $z\ge 1$, allora $\alpha^z\le \alpha \le \alpha + e^(-z)$.
Se $0 $\varphi : [0,1]-> RR : \alpha \mapsto \alpha + e^(-z) - \alpha^z$
ha un minimo assoluto in $\alpha_0 = (1-1/\nu)^\nu$ dove $\nu:=1/(1-z)$ e da $\alpha_00$.

Posto $\alpha:=1-x$ e $z=ny$, otteniamo:
$(1-x)^(ny) \le 1-x + e^(-ny)$.

Per la disuguaglianza di Bernuolli (ad esponente reale $0\le y\le 1$):
$0\le (1-x)^y\le 1-xy \le 1$
da cui
$(1-xy)^n\le (1-x)^(ny)$.