Onde, funzione, combinazione lineare spazio-tempo
Salve ragazzi. Il mio professore di fisica sta parlando di onde. Ho capito che un'onda non è altro che l'effetto di una propagazione di una perturbazione, e che matematicamente è definita da una funzione nel cui argomento deve necessariamente esserci una combinazione lineare spazio-tempo.
$\xi(t) = f(k (x \pm vt))$
Da questa volendo arrivare all'equazione di d'Alambert:
$(\partial f) / (\partial x) = \dot f\ k$ (derivata prima spaziale rispetto alla cordinata)
$(\partial^2 f) / (\partial x^2) = \ddot f\ k^2$ ma non capisco a questo punto come fa a venire $k^2$
Stessa cosa però rispetto al tempo!
$(\partial f) / (\partial t) = (\dot f) (\pm vt)$
$(\partial^2f )/ (\partial t^2) = (\ddot f) (k^2\v^2)$
Così confrontando le due derivate seconde abbiamo:
$(\partial^2 f) / (\partial x^2) = 1 / v^2\(\partial^2f )/ (\partial t^2)$
la legge sarebbe questa lungo l'asse x! nel caso generale si usa il gradiente. Quindi non capisco il passaggio matematico quando fa le derivate...mi aiutate? Un'altra cosa, perchè per trovare la perturbazione massima occorre imporre l'argomento della funzione uguale a zero?
Grazie mille
$\xi(t) = f(k (x \pm vt))$
Da questa volendo arrivare all'equazione di d'Alambert:
$(\partial f) / (\partial x) = \dot f\ k$ (derivata prima spaziale rispetto alla cordinata)
$(\partial^2 f) / (\partial x^2) = \ddot f\ k^2$ ma non capisco a questo punto come fa a venire $k^2$
Stessa cosa però rispetto al tempo!
$(\partial f) / (\partial t) = (\dot f) (\pm vt)$
$(\partial^2f )/ (\partial t^2) = (\ddot f) (k^2\v^2)$
Così confrontando le due derivate seconde abbiamo:
$(\partial^2 f) / (\partial x^2) = 1 / v^2\(\partial^2f )/ (\partial t^2)$
la legge sarebbe questa lungo l'asse x! nel caso generale si usa il gradiente. Quindi non capisco il passaggio matematico quando fa le derivate...mi aiutate? Un'altra cosa, perchè per trovare la perturbazione massima occorre imporre l'argomento della funzione uguale a zero?
Grazie mille
Risposte
\(k^2\) salta fuori perché prendi due derivate: ogni volta porti fuori una \(k\). E' la regola della derivata di una funzione composta, niente di preoccupante.
Sulla perturbazione massima non capisco la domanda. Forse ti riferisci a onde sinusoidali, come questa:
\[A\cos(\omega t - k x), \]
in cui l'ampiezza massima \(A\) è ottenuta per \(t=(k / \omega) x\).
Sulla perturbazione massima non capisco la domanda. Forse ti riferisci a onde sinusoidali, come questa:
\[A\cos(\omega t - k x), \]
in cui l'ampiezza massima \(A\) è ottenuta per \(t=(k / \omega) x\).
"dissonance":
\(k^2\) salta fuori perché prendi due derivate: ogni volta porti fuori una \(k\). E' la regola della derivata di una funzione composta, niente di preoccupante.
Sulla perturbazione massima non capisco la domanda. Forse ti riferisci a onde sinusoidali, come questa:
\[A\cos(\omega t - k x), \]
in cui l'ampiezza massima \(A\) è ottenuta per \(t=(k / \omega) x\).
Hai ragione, purtroppo mi ero lasciato confondere un pò, perfetto ho capito il problema!
Si per funzioni sinusoidali, potresti spiegarmi perchè l'ampiezza si ottiene ponendo uguale a zero,in generale, non solo se c'è il coseno, l'argomento? Scommetto che anche questo è nulla di preocuppante, però sai ora non mi viene, sono sincero!
Grazie!!!
"Funzioni sinusoidali" sono solo due: il seno e il coseno (che poi sono la stessa cosa, a meno di una differenza di fase di \(\pi/2\)). La funzione \(\cos(\alpha)\) prende il massimo per \(\alpha=0, 2\pi, 4\pi \ldots\). La funzione \(\sin(\alpha)\) prende il massimo per \(\alpha=\pi/2, 3/2 \pi, \ldots\). Quindi se abbiamo un'onda espressa dall'equazione \(A\cos(\omega t - k x)\), per trovare la massima ampiezza possiamo vedere che succede per \(\omega t - k x=0, 2\pi, 4\pi...\).
"dissonance":
"Funzioni sinusoidali" sono solo due: il seno e il coseno (che poi sono la stessa cosa, a meno di una differenza di fase di \(\pi/2\)). La funzione \(\cos(\alpha)\) prende il massimo per \(\alpha=0, 2\pi, 4\pi \ldots\). La funzione \(\sin(\alpha)\) prende il massimo per \(\alpha=\pi/2, 3/2 \pi, \ldots\). Quindi se abbiamo un'onda espressa dall'equazione \(A\cos(\omega t - k x)\), per trovare la massima ampiezza possiamo vedere che succede per \(\omega t - k x=0, 2\pi, 4\pi...\).
Perfetto! grazie davvero
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