Campo magnetico generato da cilindri conduttori in punto P
Salve a tutti.
Ho il seguente problema:
due conduttori cilindrici paralleli di raggio $R=5cm$ e $r=2cm$ e i cui assi sono posti ad una distanza $D=10cm$, sono percorsi dalla corrente $I_1=I_2=1A$ nello stesso verso. Calcolare il campo magnetico generato all'interno del conduttore cilindrico di raggio R nel punto P ad una distanza dall'asse $d=1cm$.
Mi è stato suggerito che bisogna procedere così:
$B(r)=(mu_0*I)/(2pi(D-d))$
$B(R)=(mu_0*I)/(2piR)$
$B(P)=B(R)+B(r)$
La cosa che non capisco è perchè nel calcolo del campo per il cilindro di raggio R si divide per R e non per la distanza da P (ovvero d), cosa che invece viene fatta per il cilindro di raggio r.
Grazie in anticipo!
Ho il seguente problema:
due conduttori cilindrici paralleli di raggio $R=5cm$ e $r=2cm$ e i cui assi sono posti ad una distanza $D=10cm$, sono percorsi dalla corrente $I_1=I_2=1A$ nello stesso verso. Calcolare il campo magnetico generato all'interno del conduttore cilindrico di raggio R nel punto P ad una distanza dall'asse $d=1cm$.
Mi è stato suggerito che bisogna procedere così:
$B(r)=(mu_0*I)/(2pi(D-d))$
$B(R)=(mu_0*I)/(2piR)$
$B(P)=B(R)+B(r)$
La cosa che non capisco è perchè nel calcolo del campo per il cilindro di raggio R si divide per R e non per la distanza da P (ovvero d), cosa che invece viene fatta per il cilindro di raggio r.
Grazie in anticipo!
Risposte
In effetti $B(R)=(mu_0*I)/(2piR)$ non mi pare giusto.
Si dovrebbe considerare la circonferenza coassiale con raggio $d$, trovare la corrente concatenata $I_d = I*(d/R)^2$ e usare quella al posto di $I$, e poi al denominatore usare $d$ e non $R$, e le due espressioni non si equivalgono, perchè quella proposta è costante su tutto il cilindro, e in particolare non è zero nel centro, mentre quella che propongo io è zero nel centro, come dovrebbe essere.
Ma è meglio aspettare pareri più autorevoli...
Si dovrebbe considerare la circonferenza coassiale con raggio $d$, trovare la corrente concatenata $I_d = I*(d/R)^2$ e usare quella al posto di $I$, e poi al denominatore usare $d$ e non $R$, e le due espressioni non si equivalgono, perchè quella proposta è costante su tutto il cilindro, e in particolare non è zero nel centro, mentre quella che propongo io è zero nel centro, come dovrebbe essere.
Ma è meglio aspettare pareri più autorevoli...
Premesso che, leggendo il testo, il campo B(P) potrebbe essere richiesto per un generico punto P a distanza d dall'asse del cilindro di raggio R [nota]E, in questo caso, anche il primo campo dovrebbe essere corretto.[/nota], e di conseguenza la somma dei due campi dovrebbe essere vettoriale e non algebrica, dipendente dalla posizione angolare di P sul cerchio di raggio d, per quanto riguarda il modulo del secondo campo mgrau ha perfettamente ragione. 
Nel caso (molto più probabile) si intenda che il punto P si trovi su una normale ai due assi, visto che non è precisato se P è "interno" o "esterno", bisognerà comunque fornire la soluzione per entrambi i casi, ma ovviamente basteranno un paio di $\pm$ in più nelle relazioni.
Nel caso (molto più probabile) si intenda che il punto P si trovi su una normale ai due assi, visto che non è precisato se P è "interno" o "esterno", bisognerà comunque fornire la soluzione per entrambi i casi, ma ovviamente basteranno un paio di $\pm$ in più nelle relazioni.
"RenzoDF":
...Nel caso (molto più probabile) si intenda che il punto P si trovi su una normale ai due assi, visto che non è precisato se P è "interno" o "esterno", bisognerà comunque fornire la soluzione per entrambi i casi, ma ovviamente basteranno un paio di $\pm$ in più nelle relazioni.
Scusate, ho dimenticato di precisare che P si trova sulla normale dei due assi, ma che è interno al conduttore di raggio R l'ho scritto
In più ho omesso una parte di testo perchè pensavo non servisse in questo caso ma mi sono reso conto che sicuramente giova. Dice così: "...il conduttore di raggio R ha densità di corrente non uniforme $j=a/r$ con a costante e r distanza dall'asse. Calcolare la costante a..." e poi chiede di calcolare il campo in P. La costante a è facile da calcolare, infatti mi viene $a=3.18$
Quindi la corrente concatenata sarà $I_d=int_0^da/r*2pirdr=a2pid$. Quello che non capisco è come ha fatto mgrau a calcolare la corrente concatenata senza utilizzare la densità di corrente.
P.S. Volevo inoltre chiedere come si fa a citare solo il nome di un utente, perchè mi sono limitato a cambiare il colore del testo
Ho inoltre notato che comunque esprimendo la corrente totale del conduttore di raggio R in funzione della a, ovvero $I=int_0^Ra/r*2pirdr=a2piR$, quando calcolo il campo al bordo del conduttore viene $B(R)=(I*mu_0)/(2piR)=amu_0$, ovvero lo stesso risultato ottenuto nel punto P consinderando la corrente concat.: $B_R(P)=(I_d*mu_0)/(2pid)=(a2pid*mu_0)/(2pid)=amu_0$ e non mi convince del tutto 
"AndreaTorre":
... ma che è interno al conduttore di raggio R l'ho scritto
Non intendevo "interno" in quel senso.
... In più ho omesso una parte di testo perchè pensavo non servisse in questo caso ma mi sono reso conto che sicuramente giova. Dice così: "...il conduttore di raggio R ha densità di corrente non uniforme $j=a/r$ con a costante e r distanza dall'asse...
Ah, "complimenti"!
"RenzoDF":
Ah, "complimenti"!
E' chiaro che se sono iscritto in questo forum e posto problemi sui quali ho dubbi vuol dire che non sono molto sicuro e preparato e mi farebbe più piacere essere corretto che essere deriso.
Grazie comunque
"AndreaTorre":
... ma che è interno al conduttore di raggio R l'ho scritto
Con "interno" intendevo riferirmi al fatto che non sembra essere precisato se P si trova "fra" i due assi o "esterno" alla coppia.
"AndreaTorre":
... "...il conduttore di raggio R ha densità di corrente non uniforme $j=a/r$ con a costante e r distanza dall'asse. ...
Quindi la corrente concatenata sarà $I_d=int_0^da/r*2pirdr=a2pid$.
Esatto.
"AndreaTorre":
... Quello che non capisco è come ha fatto mgrau a calcolare la corrente concatenata senza utilizzare la densità di corrente.
Ha considerato, come normalmente si fa se non altrimenti specificato, che la densità volumetrica di corrente sia costante.
"AndreaTorre":
... quando calcolo il campo al bordo del conduttore viene $B(R)=(I*mu_0)/(2piR)=amu_0$, ovvero lo stesso risultato ottenuto nel punto P consinderando la corrente concat.: $B_R(P)=(I_d*mu_0)/(2pid)=(a2pid*mu_0)/(2pid)=amu_0$ e non mi convince del tutto
Probabilmente non ti convince perché il testo va ad assumere una assurda condizione di densità di corrente che tende ad infinito per r tendente a zero, ma il campo da te calcolato è corretto.
"AndreaTorre":
Quello che non capisco è come ha fatto mgrau a calcolare la corrente concatenata senza utilizzare la densità di corrente.
Se la densità di corrente è uniforme, come si poteva supporre dal testo, la corrente che attraversa una sezione è proporzionale all'area della sezione, quindi la corrente sul raggio $R$ e la corrente sul raggio $d$ stanno fra loro come l'area del cerchio di raggio $R$ e l'area del cerchio di raggio $d$, ossia: $I_R/I_d = (piR^2)/(pid^2) = (R/d)^2$
Vi ringrazio entrambi, grazie alle vostre risposte mi sento molto più sicuro per l'esame di domani!
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