Successioni Convergenti a Numeri Irrazionali o Trascendenti
Salve! Mi è stato chiesto come consegna all'università ( la scadenza, peraltro, è breve ) di portare all'attenzione del docente alcune successioni numeriche che hanno come limite un numero irrazionale o trascendente. L'operazione che ci è richiesta è un'operazione di ricerca, poichè essendo studenti del secondo anno di Ingegneria non abbiamo le competenze per trovare da soli un termine generale convergente ad un numero irrazionale ( in particolare ne servono 10 ). Purtroppo però su internet non trovo niente che non sia il numero di Nepero, TT oppure una radice non perfetta ( come la radice di 2 ). Non so dove attingere per trovare questi numeri. Avreste qualche consiglio da darmi, o magari ( furbo io 
) qualche successione già bell'e pronta? Vi ringrazio tutti in anticipo per il vostro prezioso aiuto 
NB: Il corso si chiama Matematica Applicata e tratta dell'uso di software come Mathematica. Il contesto in cui dobbiamo inserire i numeri trovati è quello della computabilità di numeri con infinite cifre ( gli irrazionali, per l'appunto ) i quali non sarebbero computabili se non con un certo grado di approssimazione.
) qualche successione già bell'e pronta? Vi ringrazio tutti in anticipo per il vostro prezioso aiuto NB: Il corso si chiama Matematica Applicata e tratta dell'uso di software come Mathematica. Il contesto in cui dobbiamo inserire i numeri trovati è quello della computabilità di numeri con infinite cifre ( gli irrazionali, per l'appunto ) i quali non sarebbero computabili se non con un certo grado di approssimazione.
Risposte
Una successione che va bene per tendere a qualsiasi numero $\alpha\inRR$ è $\alpha_n=[\alpha*10^n]*10^(-n)$, che non è altro che aggiungere sempre una cifra al suo sviluppo decimale, per esempio se la applichi per $\alpha=pi$ ottieni ${3;3,1;3,14;3,141;3,1415;3,14159;...}$.
Considerando la nota in fondo al tuo messaggio però, forse ti servono successioni che non presuppongano la conoscenza del limite, in tal caso credo che non esistano successioni generali con la proprietà che vuoi, mi aspetterei anzi che l'insieme dei numeri per cui una tale successione esiste sia molto piccolo.
EDIT: Forse è meglio specificare che con $[.]$ intendo la parte intera.
Considerando la nota in fondo al tuo messaggio però, forse ti servono successioni che non presuppongano la conoscenza del limite, in tal caso credo che non esistano successioni generali con la proprietà che vuoi, mi aspetterei anzi che l'insieme dei numeri per cui una tale successione esiste sia molto piccolo.
EDIT: Forse è meglio specificare che con $[.]$ intendo la parte intera.
Anche:
\[
a_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log n \; ,
\]
che converge alla costante di Eulero-Mascheroni $gamma$, la quale però non è ancora noto se è razionale o no, oppure:
\[
a_n := \sum_{k=0}^n 10^{-2^k}
\]
che converge certamente verso un irrazionale.
La dimostrazione della convergenza di tali successioni è fattibile da chiunque conosca i rudimenti dell'Analisi. Prova!
\[
a_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log n \; ,
\]
che converge alla costante di Eulero-Mascheroni $gamma$, la quale però non è ancora noto se è razionale o no, oppure:
\[
a_n := \sum_{k=0}^n 10^{-2^k}
\]
che converge certamente verso un irrazionale.
La dimostrazione della convergenza di tali successioni è fattibile da chiunque conosca i rudimenti dell'Analisi. Prova!
Ciao komajyze,
In questo momento me ne vengono in mente $3$ (erano $4$, ma una l'ha già detta gugo82... ):
1) $a_n = sum_{k = 1}^n (-1)^k/k $
ove $ lim_{n \to infty} a_n = ln(1/2) $
2) $a_n = sum_{k = 1}^n 1/k^2 $
ove $ lim_{n \to infty} a_n = pi^2/6 $
3) $a_n = sum_{k = 1}^n 1/k^4 $
ove $ lim_{n \to infty} a_n = pi^4/90 $
In questo momento me ne vengono in mente $3$ (erano $4$, ma una l'ha già detta gugo82...
):1) $a_n = sum_{k = 1}^n (-1)^k/k $
ove $ lim_{n \to infty} a_n = ln(1/2) $
2) $a_n = sum_{k = 1}^n 1/k^2 $
ove $ lim_{n \to infty} a_n = pi^2/6 $
3) $a_n = sum_{k = 1}^n 1/k^4 $
ove $ lim_{n \to infty} a_n = pi^4/90 $
Vabbè a questo punto puoi metterti a scrivere tutte quelle della forma $a_n = sum_{k = 1}^n 1/k^(2i) $ con $i\inNN$, che se non sbaglio si conosce una forma chiusa per ognuno di essi e sono tutti un multiplo razionale di $pi^(2i)$.
Sì, da $\zeta(2)$ a $\zeta(26)$ erano già note ad Eulero, ma non volevo mettercele tutte...
$ lim_{n \to infty} a_n = lim_{n \to infty} sum_{k = 1}^n 1/k^(2i) = \zeta(2i) = frac{2^{2i - 1} \pi^{2i}|B_{2i}|}{(2i)!} $
ove $B_{2i} $ sono i numeri di Bernoulli, $i \in \NN_{>0} $
$ lim_{n \to infty} a_n = lim_{n \to infty} sum_{k = 1}^n 1/k^(2i) = \zeta(2i) = frac{2^{2i - 1} \pi^{2i}|B_{2i}|}{(2i)!} $
ove $B_{2i} $ sono i numeri di Bernoulli, $i \in \NN_{>0} $
Ringrazio tutti per le risposte, mi sono state molto utili!!
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