Studio convergenza uniforme serie di funzioni
Salve a tutti.
Sto studiando la serie di funzioni $ sum_(n = 1)^(+oo)f_n(x) $ con termine generale $f_n(x)=-2x^(2n-1)/(nsqrt(1-x^(2n)))$;
ho determinato che tale serie converge nell'intervallo $I=(-1,1)$, ora mi viene chiesto di verificare se converga uniformemente in tale intervallo.
Nel cercare di venirne fuori ho perso un po' di vista il quesito, e ho provato a determinare dove tale serie converga uniformemente:
in un tentativo di applicare l' M-test di Weierstrass, sono arrivato alla seguente maggiorazione
$|-2x^(2n-1)/(nsqrt(1-x^(2n)))|=|-2x^(n-1)/(nsqrt(1/(x^(2n))-1))|<=|-2x^(n-1)/(nsqrt(1/(x^2)-1))|<=|-2x^(n-1)/(n-1)|$
vera $AA x in E= [-1/sqrt(2),+1/sqrt(2)], AA n in \NN, n>=1$.
Ora, tralasciando il -2 che puo' essere raccolto davanti la serie fin dal principio, la serie di termine generale $g_n(x)=x^n/n$ converge per $|x|<1$, quindi a maggior ragione per $|x|<=1/sqrt(2)$.
Il fatto che io abbia dimostrato (se non ho fatto errori) che la serie converga uniformemente in $E$ non vieta pero' che la stessa non converga uniformemente anche in $I$, giusto?
Suggerimenti su come potrei fare a verificare se la serie converga uniformemente in $I=(-1,1)$?
EDIT:corretta formula diseguaglianza.
Sto studiando la serie di funzioni $ sum_(n = 1)^(+oo)f_n(x) $ con termine generale $f_n(x)=-2x^(2n-1)/(nsqrt(1-x^(2n)))$;
ho determinato che tale serie converge nell'intervallo $I=(-1,1)$, ora mi viene chiesto di verificare se converga uniformemente in tale intervallo.
Nel cercare di venirne fuori ho perso un po' di vista il quesito, e ho provato a determinare dove tale serie converga uniformemente:
in un tentativo di applicare l' M-test di Weierstrass, sono arrivato alla seguente maggiorazione
$|-2x^(2n-1)/(nsqrt(1-x^(2n)))|=|-2x^(n-1)/(nsqrt(1/(x^(2n))-1))|<=|-2x^(n-1)/(nsqrt(1/(x^2)-1))|<=|-2x^(n-1)/(n-1)|$
vera $AA x in E= [-1/sqrt(2),+1/sqrt(2)], AA n in \NN, n>=1$.
Ora, tralasciando il -2 che puo' essere raccolto davanti la serie fin dal principio, la serie di termine generale $g_n(x)=x^n/n$ converge per $|x|<1$, quindi a maggior ragione per $|x|<=1/sqrt(2)$.
Il fatto che io abbia dimostrato (se non ho fatto errori) che la serie converga uniformemente in $E$ non vieta pero' che la stessa non converga uniformemente anche in $I$, giusto?
Suggerimenti su come potrei fare a verificare se la serie converga uniformemente in $I=(-1,1)$?
EDIT:corretta formula diseguaglianza.
Risposte
Il problema della convergenza uniforme di quella serie è che $f_n$ non è limitata nell'insieme considerato, se tu infatti prendi un qualsiasi compatto (tipo $E$) allora lì $f_n$ ammette massimo e quindi con le dovute maggiorazioni c'è la possibilità che in effetti converga...
Nell'insieme considerato $A=(-1,1)$ deve verificarsi una condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie, ovvero $f_n$ deve convergere uniformemente a $0$ ovvero:
$$\lim_{n \to \infty} sup_{x \in A} |f_n(x)| =0$$
che non è evidentemente verificata e dunque la serie non converge uniformemente in quell'intervallo.
Nell'insieme considerato $A=(-1,1)$ deve verificarsi una condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie, ovvero $f_n$ deve convergere uniformemente a $0$ ovvero:
$$\lim_{n \to \infty} sup_{x \in A} |f_n(x)| =0$$
che non è evidentemente verificata e dunque la serie non converge uniformemente in quell'intervallo.
"Bremen000":
$$\lim_{n \to \infty} sup_{x \in A} |f_n(x)| =0$$
che non è evidentemente verificata e dunque la serie non converge uniformemente in quell'intervallo.
Ti chiedo una conferma di cio' che dici essere evidente perche' non sono sicuro del mio ragionamento:
poiche' $lim_(x->1^-) f_n(x)=+oo, AA n in \NN, n>=1$ (o ugualmente se $x->-1^+$) allora $f_n(x)$ non converge uniformemente in $I=(-1,1)$, corretto?
Ho controllato fra i miei appunti (e sul web) ma la condizione necessaria che citi dice che dev'essere
$$lim_{n \to \infty} sup _{x \in I}|f_n(x) - f(x) |=0$$
In base a che ragionamento l'hai scritta senza $f(x)$ ? Capisco il senso di quello che dici, credo, ma ho sempre paura a dare per scontato qualcosa!
Intanto, grazie mille!
G
Teorema:
Sia $\sumf_n(x)$ una serie di funzioni. Se $\sumf_n(x)$ converge uniformemente $\forall x \in A \subset \mathbb{R} $, allora $f_n(x)$ converge uniformemente a $0$ $\forall x \in A \subset \mathbb{R} $.
Noi possiamo utilizzare questo teorema al contrario, ovvero se la successione non converge uniformemente a $0$ in $A$ allora la serie non può convergere (a quel che le pare) uniformemente in $A$.
Siccome come hai detto $f_n$ è illimitata in $A$ allora non converge uniformemente da cui la non convergenza uniforme della serie.
"gorgeous.george":
Ho controllato fra i miei appunti (e sul web) ma la condizione necessaria che citi dice che dev'essere
\[ lim_{n \to \infty} sup _{x \in I}|f_n(x) - f(x) |=0 \]
In base a che ragionamento l'hai scritta senza $ f(x) $ ? Capisco il senso di quello che dici, credo, ma ho sempre paura a dare per scontato qualcosa!
La condizione da te citata è quella per la convergenza uniforme di una successione di funzioni, si può applicare anche al nostro caso ponendo
$$S_n(x) :=\sum_{k=1}^n f_k(x)$$
La convergenza uniforme della serie è la convergenza uniforme delle somme parziali e dunque abbiamo la convergenza uniforme della serie in $A$ se e solo se
$$\lim_{n \to \infty} sup_{x \in A} |S_n(x) -S(x)| =0$$
solo che non sapendo no chi è $S$ (cioè quale è il limite puntuale della serie) la condizione non è operativa.
Perfetto, grazie ancora per l'esaustivita'. A buon rendere!
G
G
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