Equazione del piano tangente
Ciao volevo chiedere aiuto per risolvere il seguente esercizio:
"Qual'è l'equazione del piano tangente al grafico della funzione f(x,y) = $log (2x^2-3xy +5) $ nel punto $(1,2)$ ? "
Grazie 1000 per l'aiuto.
"Qual'è l'equazione del piano tangente al grafico della funzione f(x,y) = $log (2x^2-3xy +5) $ nel punto $(1,2)$ ? "
Grazie 1000 per l'aiuto.
Risposte
La funzione e' differenziabile nel punto dato, per cui basta calcolare le derivate parziali prime nel punto, e fare la combinazione lineare di esse. Cio' da' il piano tangente traslato nell'origine. Una banale traslazione e tutto ritorna in P.
HELP !! Ho provato a risolvere il problema per f(x,y) = $log (2x^2-3xy +5) $ nel punto $(1,2)$ ma non riesco a procedere. Cosa ho sbagliato? Thanxs
con x=1
$f(y)=log (7-3y)$
$f'(y)=(-3)/(7-3y)$
con y=2
$f(x)=log (2x^2-6x+5)$
$f'(x)=(4x-6)/(2x^2-6x+5)$
La combinazione lineare sarebbe:
z= $f'(y) + f'(x) = (-3)/(7-3y) + (4x-6)/(2x^2-6x+5)$ ????
grazie
con x=1
$f(y)=log (7-3y)$
$f'(y)=(-3)/(7-3y)$
con y=2
$f(x)=log (2x^2-6x+5)$
$f'(x)=(4x-6)/(2x^2-6x+5)$
La combinazione lineare sarebbe:
z= $f'(y) + f'(x) = (-3)/(7-3y) + (4x-6)/(2x^2-6x+5)$ ????
grazie
E ti pare l'equazione di un piano quella? Anzitutto non ho capito il tuo modo di derivare, sembra che prima tu abbia sostituito il punto e poi derivato, se e' cosi' e' un errore molto grave.
Devi derivare rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$. La derivata rispetto ad $x$ risulta
${4x-3y}/{2x^2-3xy+5}$
Quella rispetto ad $y$ la lascio a te. Dette $f_x$ e $f_y$ le due derivate calcolate nel punto $P$ dato, l'equazione del piano tangente e' allora
$z-f(1,2)=(x-1)f_x+(y-2)f_y$.
Devi derivare rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$. La derivata rispetto ad $x$ risulta
${4x-3y}/{2x^2-3xy+5}$
Quella rispetto ad $y$ la lascio a te. Dette $f_x$ e $f_y$ le due derivate calcolate nel punto $P$ dato, l'equazione del piano tangente e' allora
$z-f(1,2)=(x-1)f_x+(y-2)f_y$.
Io farei così. La funzione è:
$F(x,y,z)=ln(2x^2-3xy+5)-z=0$
Il punto è P(1 ,2, 0), per cui le derivate sono:
$F'(x)=(4x-3y)/(2x^2-3xy+5), F'(y) = (-3x)/(2x^2-3xy+5), F'(z)=-1$
Nel punto P esse assumono i valori:
$F'(x)=-2, F'(y)=-3, F'(z)=-1$
L'equazione del piano tangente perciò diventa:
$(-2)(x-1)+(-3)(y-2)+(-1)(z-0)=0$
cioè:
$2x+3y+z-8=0$
$F(x,y,z)=ln(2x^2-3xy+5)-z=0$
Il punto è P(1 ,2, 0), per cui le derivate sono:
$F'(x)=(4x-3y)/(2x^2-3xy+5), F'(y) = (-3x)/(2x^2-3xy+5), F'(z)=-1$
Nel punto P esse assumono i valori:
$F'(x)=-2, F'(y)=-3, F'(z)=-1$
L'equazione del piano tangente perciò diventa:
$(-2)(x-1)+(-3)(y-2)+(-1)(z-0)=0$
cioè:
$2x+3y+z-8=0$
E' esattamente quello che ho fatto io, non e' una strada alternativa...
"Luca.Lussardi":
E' esattamente quello che ho fatto io, non e' una strada alternativa...
Scusa Luca. La mia non voleva essere una soluzione alternativa. Solo che non avevo letto la tua risposta precedente.
Figurati, non hai nulla di che scusarti. Mi sembrava giusto puntualizzare il fatto che la strada intrapresa e' fondamentalmente la stessa, vista la confusione del collega.
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