Come risolvo questo limite?

[Sandruz1]

Allora ho: $ lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/ (arctan(x^2))$

Ho moltiplicato e diviso per $x^2$ ottenendo.

$ (cos(e^x - e^(-x))-1)/(x^2))$ $(x^2)/(arctg (x^2)) $ che per i limiti notevoli e $1$

Mi ritrovo un'altra forma indeterminata $0/0$ ho provato con Hopital ma mi incasino, so che il risultato è $-2$ quindi suppongo che debba utilizzare il limite notevole $(1-cos(x))/x^2$ ma non so come farlo....

[Seneca1]

Quale limite?

[Sandruz1]

"Seneca":Quale limite?

Scusa seneca sto combinando un macello per sistemare le formule.

[Seneca1]

$lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/ (arctan(x^2))$

Mi confermi che il limite è questo?

[Sandruz1]

"Seneca":$lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/ (arctan(x^2))$

Mi confermi che il limite è questo?

si perfetto è quello.

[Seneca1]

"Seneca":$lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/ (arctan(x^2))$

Come hai notato calcolare quel limite significa calcolare $lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/x^2$

Inoltre sai che $lim_(y -> 0) (1 - cos(y))/y^2 = 1/2$. Vale a dire: $1 - cos(y) = y^2/2 + o(y^2)$

Sostituendo questa espressione nel limite che hai tu ottieni:

$lim_(x -> 0) - 1/2 (e^x - e^(-x))^2/x^2$

Da qui sai continuare?

[Sandruz1]

"Seneca":[quote="Seneca"]$lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/ (arctan(x^2))$

Come hai notato calcolare quel limite significa calcolare $lim_(x -> 0) (cos(e^x - e^(-x))-1)/x^2$

Inoltre sai che $lim_(y -> 0) (1 - cos(y))/y^2 = 1/2$. Vale a dire: $1 - cos(y) = y^2/2 + o(y^2)$

Sostituendo questa espressione nel limite che hai tu ottieni:

$lim_(x -> 0) - 1/2 (e^x - e^(-x))^2/x^2$

Da qui sai continuare?[/quote]

Ho visto che hai usato Taylor, si potrebbe risolverlo senza?

[Seneca1]

Ho usato un limite notevole... Sarebbe stata la stessa cosa dividere e moltiplicare per $( e^x - e^(-x))$.

[Sandruz1]

Allora avevamo $ (cos(e^x - e^(-x))-1) / (x^2)(x^2)/(arctg (x^2))$

Adesso moltiplico e divido per $(e^x - e^(-x))^2$ e adesso ho $-1/2$ $((e^x - e^(-x))^2) / x^2$
Posso riscrivere $((e^x - e^(-x))^2) / x^2$ come $((e^x - e^(-x)) / x)((e^x - e^(-x)) / x)$

Poi moltiplico e divido per 2 e metto in evidenza $e^-x$.

Grazie per l'aiuto.