Esercizio Geometria Algebrica
Buondi'
dopo aver studiato la teoria sto cercando di capire come applicarla e mi rendo conto di avere piu' di qualche difficolta'.
L'esercizio in questione e' questo
$ G < GL_n (\mathbb{C})$ e' un gruppo algebrico e $G \times Z \rightarrow Z $ un'azione algebrica transitiva. Dimostrare che $Z$ e' liscio
Quello che io so dalla teoria e' che Z e' liscio se per ogni punto di Z la sua dimensione sul punto e' pari alla dimensione del tangente di Zariski nel punto.
Per il resto non ho idea di dove mettere mani...
Suggerimenti?
Grazie
dopo aver studiato la teoria sto cercando di capire come applicarla e mi rendo conto di avere piu' di qualche difficolta'.
L'esercizio in questione e' questo
$ G < GL_n (\mathbb{C})$ e' un gruppo algebrico e $G \times Z \rightarrow Z $ un'azione algebrica transitiva. Dimostrare che $Z$ e' liscio
Quello che io so dalla teoria e' che Z e' liscio se per ogni punto di Z la sua dimensione sul punto e' pari alla dimensione del tangente di Zariski nel punto.
Per il resto non ho idea di dove mettere mani...
Suggerimenti?
Grazie
Risposte
Come in tutti i problemi simili, devi dimostrare che la proprietà viene mantenuta dall'azione. Cioè che due elementi in una stessa orbita hanno la stessa dimensione.
Supponendo che \(\displaystyle Z\) sia una varietà algebrica in senso classico, basta ricordarsi una cosuccia sui punti semplici e cosa significa che un gruppo agisce transitivamente su un insieme (non vuoto) per procedere!
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